高等流体力学第八章

第八章对流与扩散0ijutxijjjuStxxxijjjuStxxx（8.1）（8.2）（8.3）也可以改写为：通用微分方程：一维稳态对流与扩散控制微分方程：连续性方程变为或dddudxdxdx0dudx0u一维问题的典型网格点群(δx)(δx)e控制容积PeE（8.4）（8.5）在上页图中中个控制容积内对控制微分方程进行积分：ewewdduudxdx12eEP及12wPW1122eEPwPWEPPWewewuuxxFuDx上面的方程可以写为定义两个新的符号一维稳态对流与扩散离散方程变化为：PPEEWWaaa2eEeFaD222ewPewEWewFFaDDaaFF给一个简单的例子：1ewDD4ewFF（1）如果及,结果是200E100W50P（2）如果及,结果是100E200W250P一维稳态对流与扩散（8.6）（8.7）（8.8）一维稳态对流与扩散结果分析因为实际上不可能落在由相邻点值所建立的100－200的范围，这些结果显然就是不真实的。于是离散方程就变得不适于用逐点法求解以上结果导致了一个不可接受的离散方程，因而就要寻找更好的公式P一维稳态对流与扩散一维问题的典型网格点群控制容积(δx)e(δx)DxPPEEWWaaa（8.9）（8.10）一维稳态对流与扩散一维问题的典型网格点群控制容积(δx)e(δx)222ewPewEWewFFaDDaaFF式中（8.11a）（8.11b）（8.11c）一维稳态对流与扩散一维问题的典型网格点群控制容积(δx)e(δx)100W50P100E200W250P（a）如果及结果是（b）如果及结果是上风方案上风方案eP0eFeE0eF如果（8.12a）如果（8.12b）上风方案上风方案,0,0eePeEeFFFPPEEWWaaa,0EeeaDF,0,0,0PeewwEWewaDFDFaaFF混合格式混合格式当时，使用具有二阶精度的中心差分格式；当时，采用具有一阶精度但考虑流动方向的一阶迎风格式。||2eP||2eP在混合格式下，与的输运方程dudddrdxdr所对应的离散方程是：混合格式式中：PPWWaaa()PEWewaaaFFmax,,02max,,02eEeeFaFD（8.13）（8.14）混合格式混合格式根据流体流动的Pe数在中心差分格式和迎风格式之间进行切换，给格式综合了中心差分格式和迎风格式的共同优点，因其离散方程的系数总是正的，因此是无条件稳定的。混合格式De4=04321-1-3-2-5-40系数随贝克列数的变化αEPEPα=-eDE21De准确曲线αEE3EαEP=1-De25α5E指数格式对于方程dudddrdxdr在计算内，如果当x=0时，有；当x=L时，有，则方程的精确解是：0xL0L00exp(/)1exp1eLePxLP（8.15）（8.16）指数格式现考虑一个由对流通量密度与扩散通量密度所组成的总通量密度；u/xJJux总通量密度是指单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。J（8.17）指数格式按上述定义，方程（8.15）变为0Jx对于控制体积内，由上式积分方程可得：0ewJJ（8.18）（8.19）指数格式精确解（8.15）可以作为点P与E之间的分布，其中用和代替和，并用距离代替L，从而可以给出的表达式：PE0L()exeJexp1PEeePeeJFP式中，是界面E上的Pelclet数。ewP（8.20）指数格式同样，可以写出关于类似关系如下：wJexp1WP（8.21）指数格式将上二试代入方程，得：0ewJJ0exp1exp1WPPEePwWeeewFFPP（8.22）指数格式写成标准形式：PPWWEEaaa式中，()PEWewaaaFFexp(/)exp(/)1exp(/)1eEeeFaFD（8.23）（8.24）指数格式在应用于一维的稳态问题时，指数格式保证对于任何的Pelclet数以及任意数量的网格点均可以得到精确解。缺点：①指数运算是费时的；②对于二维或三维的问题，以及源项不为零的情况，这种方案是不准确的。乘方格式当数超过10时，扩散项按0对待；当时，单位面积上的通量按一多项式来计算，如，对于控制体积的w界面有：eP010ePwq[()]wWF(010)eP(10)eP式中，5(10.1)wewewPP（8.25）乘方格式与乘方格式对应的离散方程为：PPWWEEaaa式中，()PEWewaaaFF5max[0,(10.1||)]max[,0]WwewaDPF5max[0,(10.1||)]max[,0]EeeeaDPF（8.26）（8.27）输运方程输运方程：1,1,1,1,,1,1,1,1IJIJIJIJIJIJIJIJIJIJIJaaaaab压力修正方程：'''1,1,1,1,'',1,1,1,1IJIJIJIJIJIJIJIJIJIJIJaPaPaPaPaPb一维对流扩散问题的精确解dddudxdxdx一维对流扩散问题的精确解-p1一维对流扩散问题的精确解Φ00Xp=1p=0p1Φp=-1LΦL在一定的贝克列数范围内，应用各种方案中心差分格式上风方案(也包括幂函数方案)1.20.250-5-10(格式)所计算的值ΦP-0.20混合方案(也包括幂函数方案)0.40.6精确解精确解中心差分格式1.0上风方案0.8混合方案10各种方案的结果方案（格式）对A(|P|)的公式中心差分1-0.5|P|上风1混合[0,1-0.5|P|]幂函数[0,(1-0.5|P|)8]指数|P|/[exp(|P|)-1]各种不同方案(格式)的函数A(|P|)