高考物理二轮复习专题3 万有引力与天体运动

专题三万有引力与天体运动主干知识整合一、万有引力定律内容宇宙间任意两个有质量的物体间都存在相互吸引力，其大小与两物体的质量乘积成正比，与它们间距离的二次方成反比，引力的方向在它们的连线上公式F＝Gm1m2r2其中引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2适用条件适用于质点或均匀球体之间，其中r为质点间、球心间或质点与球心间的距离二、天体运动问题的处理方法1．在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动简化为：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力．GMmr2＝ma＝mv2r＝mrω2＝mr2πT2，解得：a＝GMr2、v＝GMr、ω＝GMr3、T＝2πr3GM以上表达式中，M为中心天体的质量，m是绕行天体的质量．由以上关系可以看出，当轨道半径r增大时，a、v、ω减小，而T增大，且与绕行天体的质量无关．一旦轨道半径r确定，则a、v、ω、T的大小也确定．例如所有地球同步卫星的r、v、ω、T、a大小均相等．2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系3．求解天体问题的一般思路(1)环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，即GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m2πT2r.(2)物体在地球表面附近受到的重力近似等于万有引力，mg＝GMmR2(R为地球半径)．在地球质量未知的情况下，可应用GM＝gR2转换．三、宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)：是发射地球卫星的最小速度，也是卫星围绕地球做圆周运动的最大运行速度，大小为7.9km/s.2．第二宇宙速度(逃逸速度)：是人造卫星挣脱地球束缚而成为一颗太阳的人造小行星的最小发射速度，大小为11.2km/s.3．第三宇宙速度(脱离速度)：是人造卫星挣脱太阳的束缚而成为一颗绕银河系中心运行的小恒星的最小发射速度，大小为16.7km/s.注意：1.三个宇宙速度的大小都是以地球中心为参考系的．2．以上数据是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同．3．人造卫星的理论发射速度在7.9km/s到11.2km/s之间．要点热点探究►探究点一同步卫星、近地卫星与极地卫星问题1．地球轨道同步卫星(1)同步卫星位于赤道正上方，轨道平面与赤道平面共面；(2)同步卫星的轨道半径一定，距离地球表面的高度一定，约36000km；(3)同步卫星的运行周期和地球的自转周期相同，T＝24h，且转动方向相同；(4)所有地球轨道同步卫星的半径、线速度大小、角速度大小及周期都相同．2．近地卫星：当人造地球卫星在近地轨道上运行时，轨道半径近似等于地球的半径R，近地卫星的运行速度即地球的第一宇宙速度．(1)设地球的质量为M，卫星的质量为m，当人造地球卫星在近地轨道上运行时，轨道半径近似等于地球的半径R，万有引力提供近地卫星做圆周运动的向心力，GMmR2＝mv21R，解得v1＝GMR＝7.9km/s(2)卫星刚好绕地球表面运动，重力近似等于万有引力，mg＝mv21R，解得v1＝gR＝7.9km/s.3．极地轨道卫星：绕地球做圆周运动的卫星在运行过程中通过两极正上方．由于地球自转，极地卫星并不是沿同一经度线的上方运行．例1[2011·广东卷多选]已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是()A．卫星距地面的高度为3GMT24π2B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为GMmR2D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度例1BD【解析】同步卫星绕地球做匀速圆周运动的过程中万有引力提供向心力，设卫星距离地面的高度为h，由GMmR＋h2＝m4π2T2(R＋h)，可以得到h＝3GMT24π2－R，故选项A错误；卫星运行受到的向心力由万有引力充当，即F向＝GMmR＋h2，选项C错误；第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，由GMmr2＝mv2r＝ma，得卫星运行速度v＝GMr、卫星运行的向心加速度a＝GMr2，可见当卫星绕行半径r增大时，v与a都要减小，所以B、D选项正确．【点评】解答地球轨道同步卫星问题时，应关注同步卫星的轨道总在地球赤道正上方、运行周期与地球自转周期相同且转动方向相同、轨道半径相同等要点．下面的变式题综合考查地球自转、近地卫星和地球轨道同步卫星的运动问题．[2011·山东卷多选]甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是()A．甲的周期大于乙的周期B．乙的速度大于第一宇宙速度C．甲的加速度小于乙的加速度D．甲在运行时能经过北极的正上方例1变式题AC【解析】由a＝GMr2、v＝GMr、ω＝GMr3、T＝2πr3GM可知：轨道半径r越大，a、v、ω越小，而T越大，故A、C对，B错；地球同步卫星只能在赤道上空运行，不可能经过北极的正上方，D错．►探究点二天体质量和密度的估算问题1．已知环绕天体的周期T和半径r，求中心天体的质量、密度由GMmr2＝m4π2T2r可知：只要知道环绕天体的周期T和半径r，就可求出中心天体的质量M＝4π2r3GT2.设中心天体的半径为R，则V＝43πR3，其密度为ρ＝MV，联立解得ρ＝3πr3GT2R3.若测得中心天体的近表卫星周期T，此时r＝R，则中心天体的平均密度为ρ＝3πGT2.可见只需要测得中心天体近表卫星的周期，就可以得到中心天体的密度．2．已知星球表面的重力加速度g，求星球质量在星球表面附近，重力近似等于万有引力，即mg＝GMmR2(多用代换)，可求得星球质量M＝gR2G，或星球表面的重力加速度g＝GMR2.例2[2011·福建卷]“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝34πR3，则可估算月球的()A．密度B．质量C．半径D．自转周期例2A【解析】由GMmR2＝m2πT2R，M＝ρV，V＝43πR3，联立解得ρ＝3πGT2，已知周期T，就可求密度ρ，A正确．【点评】本题根据月球的近表卫星的周期，可求得月球的密度ρ＝3πGT2，因月球半径未知，不能确定月球的质量．同理，如果知道中心天体的密度，可求得中心天体的近表卫星周期，见下面的变式题．[2011·北京卷]一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为()A.4π3GρB.34πGρC.πGρD.3πGρ例2变式题D【解析】物体对天体表面压力恰好为零，则物体随天体自转需要的向心力恰好由物体受到的万有引力提供：GMmR2＝m2πT2R，又ρ＝MV＝M43πR3＝3M4πR3，联立解得T＝3πGρ.►探究点三航天器的动力学分析与变轨问题提供天体做圆周运动的向心力是该天体受到的万有引力F供＝GMmr2，天体做圆周运动需要的向心力是F需＝mv2r.当F供＝F需时，天体在圆轨道上做匀速圆周运动；当F供＞F需时，万有引力充当向心力过余，天体做向心运动；当F供＜F需时，万有引力充当向心力不足，天体做离心运动．运行半径较大的人造卫星的一般发射过程如图所示，先将卫星发射到离地面较近的圆轨道Ⅰ上，运行稳定后再启动火箭(或发动机)短暂加速(位置B)，由于速度变大，万有引力充当向心力不足，卫星将沿椭圆轨道Ⅱ做离心运动，当卫星将沿椭圆轨道运动到椭圆轨道的远地点A时，再次启动火箭短暂加速，卫星再次变轨绕圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动．运行半径较大的人造卫星的一般发射过程如图所示，先将卫星发射到离地面较近的圆轨道Ⅰ上，运行稳定后再启动火箭(或发动机)短暂加速(位置B)，由于速度变大，万有引力充当向心力不足，卫星将沿椭圆轨道Ⅱ做离心运动，当卫星将沿椭圆轨道运动到椭圆轨道的远地点A时，再次启动火箭短暂加速，卫星再次变轨绕圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动．例3[2010·江苏卷]2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有()A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的动能大于在轨道Ⅰ上经过A的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度例3AC【解析】卫星在同一轨道上运行时，只有万有引力做功，机械能守恒，势能越大，动能就越小，故卫星离地球越远，速度越小，A正确；由I轨道变到II轨道能量要减小，由于在同一高度，故通过减速(减小动能)达到减小能量的目的，所以B错误；根据开普勒定律，R3T2＝c，轨道半长轴越短，周期越小，即R2＜R1，所以T2＜T1，C正确；根据a＝GMR2知D错误．2010年10月1日18时59分57秒，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测，如图1－4－3所示．已知万有引力常量为G，则()A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大C．由已知条件可求月球的密度D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大例3变式题AD【解析】因轨道Ⅲ的运动半径大于月球半径，由GMmr2＝mv2r知，卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比卫星在接近月球表面的轨道上的运动速度小，即比月球的第一宇宙速度小，选项A正确；卫星在圆轨道Ⅲ上经过P点做匀速圆周运动，有GMmr2＝mv2r，卫星在椭圆轨道Ⅰ上经过P点后做离心运动，有GMmr2mv′2r，所以vv′，选项B错误；根据“嫦娥二号”卫星的工作轨道半径和周期可求月球的质量，结合月球半径可求月球密度，但本题月球半径未知，所以无法求得月球质量和密度，选项C错误；“嫦娥二号”由椭圆轨道Ⅰ减速变轨后进入椭圆轨道Ⅱ，机械能减小，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大，D正确.►探究点四双星问题“双星”是两颗星相距较近，依靠彼此间的万有引力绕着两星之间连线上的某点做圆周运动的天体系统．解答“双星”问题要抓住两个要点，即双星的运动周期相等，向心力大小相等．例4两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m1、m2，如图1－4－4所示，以下说法正确的是()A．它们的角速度相同B．线速度与质量成反比C．向心力与质量成正比D．轨道半径与质量成正比例4AB【解析】双星的角速度相同，向心力为相互的万有引力，大小也相同，即有m1r1ω2＝m2r2ω2，所以r1∶r2＝m2∶m1，所以A对、D错；又v＝ωr，线速度与轨道半径成正比，即与质量成反比，故B对；双星的向心力相等，C错．【点评】双星共轴转动，角速度相同，分别对两星列出动力学方程，并利用两星轨道半径之和等于两星间的距离，联立方程可求解．本题很容易误认为星球的轨道半径是两星间的距离，或误用轨道半径计算双星间的引力．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两个质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()A．1∶6400B．1∶80C．80∶1D．6400∶1例4变式题1C【解析】月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力大小相等．且月球、地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以vV＝rR＝Mm，线速度和质量成反比，正确答案C.宇宙中存在一些质量相等的且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常数