《一元二次方程根与系数的关系》

19.4一元二次方程的根与系数的关系1.填表方程x1,,x2x1+x2x1.x2①x2-3x+2=0②X2-2x-3=0③X2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？当二次项系数为1时x2+px+q=0的两根为x1,,x2则有qPxxxx2121.2,132-1,32-31,454方程x1x2xx21xx21.01692xx01432xx02732xx31313291311343131-237322、填表说一说，你又有什么发现？猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0）的两根为x1、x2，则x1.x2与系数a，b，c的关系。xx21042acbabxx21acxx21x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2axx21x1x2=-b+b2-4ac2a-b-b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2a=(-b+b2-4ac)(-b-b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2=caxx21.ab任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2，x1.x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2=-—x1.x2=—abac042acb一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.例1已知方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。答：方程的另一个根是k的值是7。解:设方程的另一根为了,则x22442422xxk7212kx21（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11.下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）—+—x1x2x1x2一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果例题2：（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。二、典型例题例题1：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x23（3）212112xxxx3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AD=10cm，以AD为直径的⊙O切另一腰于E，以AB、CD为根的方程是X2-12X+m=0，求m的值。ABCDOE提高练习例题3：设x1，x2是方程2x2－3x＋m＝0的两个根，且8x1－2x2＝7，求m的值。例题4：已知关于x的一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根之积7，求k的值。1、一元二次方程的一般形式。ax2＋bx＋c=0(a≠0)abac（1）a≠0（2）△≥02、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，则x1＋x2＝，x1x2＝。3、用根与系数关系解题的条件是。一、知识要点：例题6：已知二次函数y＝x2－mx－4（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点。（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）且有求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标。（2004′淮安）11121xx三、延伸与拓展