7-1 关于实数集完备性的基本定理

返回后页前页在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则.这三个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的.在本章中,将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.§1关于实数集完备性的基本定理返回返回后页前页一、区间套定理与柯西收敛定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性返回后页前页定义1nnab{[,]}:设闭区间列满足如下条件111.[,][,],1,2,,nnnnababn2.lim()0,nnnba{[,]},.nnab则称为闭区间套简称区间套定义1中的条件1实际上等价于条件1221.nnaaabbb一、区间套定理与柯西收敛定理返回后页前页nnaaaa121nnbbbb121定理7.1(区间套定理){[,]},nnab若是一个区间套,则存在唯一的实数使[,],1,2,,nnabn或者.],[}{1nnnba证由定义1的条件1可知,数列{an}递增,有上界b1.所以由单调有界定理,可知{an}的极限存在.x返回后页前页从而由定义1的条件2可得.lim)(limlimnnnnnnnaabb因为{an}递增,{bn}递减,所以,nnba下面来证明唯一性.设1也满足,1nnba,limnna设这样就证明了的存在性.返回后页前页证由区间套定理的证明可得:limlim.nnnnab由极限的保号性,对于任意正数,存在N,1,.即惟一性得证10.nnba那么[,](;).nnabU则任给0,存在N,1,2,.n当nN时,推论设{[an,bn]}是一个区间套,[,],nnab返回后页前页nnab[,](,).注1该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.注2区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立.例如对于开区间列,显然10n，nN,当时有,.nnabnnab,即这就是说返回后页前页但是定理1中的是不存在的,这是因为110,.nn证明过程,哪一步通不过?111.0,0,,1,2,,1nnn12.lim00.nn10,1n读者可以反思一下,对于，按照定理的返回后页前页,0,,,NmnN对于任意正数存在时有.2,2AaAamnnmnmaaaAaA.因而有作为区间套定理的应用,下面来证明柯西收敛准则,即证明数列{an}收敛的充要条件是:对任意的证(必要性)lim,,nnaA设由数列极限的定义,,.nmmnNaa当时有存在N,0,返回后页前页1111111,,(,),222nNNNnNaaa令存在时,11112111[,][,].,222NNabaa取令存在.,(,).nNnNNaanNaaa即当时(:lim.)nNnaa注意这并不能说明NnN,0,,,由题设对于任意存在时()充分性NaNaNax返回后页前页212(),,NNnN时nNNaaa222211[,],22ababba1122221[,][,],,22222112211[,][,],.22NNababaa取显然有nnNaab222,[,].并且当时......返回后页前页11,.22kknNNkkaaa......{[,]},kkab这样就得到一列闭区间满足kkkkNNnN11,(),,2令存在当时1111[,][,],.22kkkkkkNNkkababaa取11(i)[,][,],kkkkabab1,2,;k11(ii)0,2kkkbak;返回后页前页00[,](,),kkabna.所以这就证明了03,,knN由性质当时00[,](,),nkkaabkkab,[,].由区间套定理存在惟一的由定理1的+(iii)N,,[,].knkkknNaab当时k00,,对于任意存在使推论，lim.nna返回后页前页定义2设S为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点(当然可以属于S,也可以不属于S).若对于任意正数,在(,+)中含有S的无限个点,10Sn比如:是的一个聚点;二、聚点定理与有限覆盖定理则称是S的一个聚点.US(;),无限集即11,1(1).nSn是的两个聚点返回后页前页为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.SRR,.0,设若对于任意定义2定义2″若存在各项互异的收敛数列,}{Sxn.lim的一个聚点称为那么极限Sxnn下面简单叙述一下这三个定义的等价性.若设S是[0,1]中的无理数全体,则S的聚点集合(;),.USS那么称是的一个聚点S(称为S的导集)为闭区间[0,1].返回后页前页定义2定义2由定义直接得到.定义2定义2因为0,(;)0,US那么111,(;1);xUS取2122min1/2,,(;);xxUS取;.1min1/,,(;);nnnnnxxUS取返回后页前页{}.,{}nnnxSx这样就得到一列由的取法两两,10nxnnlim.nnx由此互异,并且定义2定义2由极限的定义可知这是显然的.定理7.2(聚点定理)实数轴上的任意有界无限点集必有聚点.返回后页前页我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为有界点集,所以存在正数M,使11[,],[,][,].SMMabMM且记现将[a1,b1]等分为两个子区间[a1,c1],[c1,b1],1111111.[,],[,]2abcaccb其中那么中至少有一个区间含有S的无限多个点.记该区间为[a2,b2].要注意在区间套的构成中所建立的性质(iii).返回后页前页],,[],[2211baba显然有22111().2babaM再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间含有S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3].112233[,][,][,],ababab显然又有.2)(212233Mabab返回后页前页nnnMba1(ii)0;2(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多个点.无限重复这个过程,就可得到一列闭区间{[,]},nnabnnnnababn11(i)[,][,],1,2,;,[,],nnab由区间套定理存在惟一的.,2,1n满足返回后页前页1:,,N由定理的推论对于任意的正数存在使[,](;),NNabU所以由所建立的性质(iii)(;)[,]NNUSabS无限集.这就证明了是S的一个聚点.定理7.2有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.返回后页前页证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛若数列{xn}不含有无限多个相等的项,则{xn}作为点集是有界的.由聚点原理,可设是{xn}的一个推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.的.收敛于.聚点,那么再由定义2,可知{xn}中有一个子列返回后页前页00lim(),[,],().nnfxAxabfxA那么存在使证{}[,],{}.nnxabx因故有界由致密性定理，0{}{}.lim.kknnnkxxxx存在一个收敛子列设,bxakn又因由极限的不等式性质,可得.0bxa例1()[,]{}[,].nfxabxab设在上连续，如果作为致密性定理的应用,我们来看下面两个例题.返回后页前页例2用致密性定理证明柯西收敛准则.证0{}1na设是一个柯西列,那么对于，存在0,,||1,||||1.nNnNNnNaaaa时故NNMaaaa121max{||,||||,||1},令nnnaMa||,{}.那么对一切，所以是有界数列{}{}.knnaa由致密性定理,存在的收敛子列fxx0()由于在点连续,根据归结原理00lim()lim()().knkxxAfxfxfx返回后页前页Aaknklim设.下面证明{an}以A为极限.因为{an}是柯西列,所以对于任意正数1,,N1,||.nmnmNaa当时，lim,knkaA又因为1max{,},,KNNnnN令当时||||||2,KKnnnnaAaaaAlim.nnaA所以,kK时有,,K所以对上述存在当||.knaA返回后页前页定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间H((,)).的集合即中的元素均为形如的开区间xSHx,(,),(,),若对于任意都存在使则称H是S的一个开覆盖.若H是S的一个开覆盖,并且H中的元素(开区间)仅有有限个,则称H是S的一个有限开覆盖.11,1,2,...(0,1)2Hnnn例如是区间的一个开覆盖.返回后页前页定理7.3(海涅－博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a,b]的一个开覆盖,则从H中可选证证明该定理有多种海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国)博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国)出有限个开区间,构成闭区间[a,b]的一个子覆盖.要注意区间套的取法.间套定理来证明,仍然方法.这里还是运用区返回后页前页若定理不成立,也就是说[a,b]不能被H中任何再将[a1,b1]等分成两个子区间,其中至少有一个有限个开区间所覆盖.将区间[a,b]等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为[a1,b1].不能被H中有限个开区间所覆盖.设该区间为ababbaba11111[,][,],().2并且显然有返回后页前页11(i)[,][,],1,2,;nnnnababn(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H中有限个满足下列三个性质:221122111[,][,],().2ababbaba并且[a2,b2].同样有将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间[,]nnab1(ii)()0,2nnnbaba;n返回后页前页11[,],[,],(,),abHabH因覆盖了故存在0,.min{,},7.1使（）取由定理这就是说,[aN,bN]被H中的一个开区间所覆盖,[,],1,2,.nnabn,由区间套定理,存在惟一的使开区间所覆盖.0,,[,](;)(,).NNNabU论存在使的推矛盾.返回后页前页1(1)12...1Hnn比如开区间集，，，覆盖了区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不注定理7.3中的闭区间不可以改为开区间.能覆盖(0,1).返回后页前页我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它三、实数完备性定理的等价性确界定理单调有界定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的.们是:聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则返回后页前页柯西收敛准则区间套定理聚点