三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法

1、（安徽卷文8）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（）A．6xB．12xC．6xD．12x2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数3、（全国Ⅰ卷文6）2(sincos)1yxx是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin3sincosfxxxx在区间,42上的最大值是()A.1B.132C.32D.1+35、（天津卷文6）把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．sin23yxxR，B．sin26xyxR，C．sin23yxxR，D．sin23yxxR，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像（）A．向左平移π6个长度单位B．向右平移π6个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（）A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（）A．6xB．12xC．6xD．12x解：sin(2)3yx的对称轴方程为232xk，即212kx，0,12kx2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数【解析】222211cos4()(1cos2)sin2cossinsin224xfxxxxxx,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sincos)1yxx是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数sinxcosx,2sinxcosx2y=1sin2x1=sin2xTD2解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。∵－－－，∴＝＝　　，为奇函数。∴答案为－5.（湖南卷理6）函数2()sin3sincosfxxxx在区间,42上的最大值是()A.1B.132C.32D.1+3【答案】C【解析】由1cos231()sin2sin(2)2226xfxxx,52,42366xxmax13()1.22fx故选C.16.（天津卷文6）把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．sin23yxxR，B．sin26xyxR，C．sin23yxxR，D．sin23yxxR，解析：选C,132sinsin()sin(2)33yxyxyx向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍．10.（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像（）A．向左平移π6个长度单位B．向右平移π6个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位5y=cos(x+)=sin(+x+)=sin(x+)32365ysinxC6解析:本题主要考查了三角函数的图象变换及互余转化公式：∵∴可由＝向左平移得到∴答案为8.（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（）A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位【解析】.A.55cos2sin2sin2,3612yxxx只需将函数sin2yx的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos23yx的图像.正弦型函数sinyAx图像变换、解析式求法1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0举例：比如画f(x)＝sin2x－π3的图像。结论：如何确定y＝Asin(ωx＋φ)图像的五点。找最高点，最高点为第二点，最高点左面的点是第一点（也可认为是第五点），最高点右面的点是第三点，最低点为第四点。2．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤突破要点：要点1、当x的系数相同时，应对变换前后的函数作变形，统一形式，便于平移。比如：（1）、sin2fxx变换到sin23fxx，其过程为：（2）、sin23fxx变换到sin26fxx，其过程为：要点2、当x的系数不同时，可有两种变化途径：第一种途径：化归为要点1，即先通过伸缩变换将x的系数变为相同的。例如：sinfxx变换到sin33fxx，其过程为：第二种途径：先作平移变换，再作伸缩变换例如：sinfxx变换到sin33fxx，其过程为：要点3、函数名不相同时，应先通过诱导公式变形为相同的函数，再结合要点1、2处理。例如：sin23fxx变换得到cosfxx，其过程为：3、正余弦型函数图像特征元素的认识。（1）两相邻对称中心的距离与周期的关系：（2）两相邻对称轴的距离与周期的关系：（3）相邻对称中心、对称轴的距离与周期的关系：（4）对称中心与最近最高或最低点的距离与周期的关系：（5）对称轴与图像的交点必为最值点（即最高点或最低点）例题分析：考向一作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】：已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？(3)将fx的图像作怎样的变换可得到cos6yx？【例2】►(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．【例3】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．考向三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用【例4】►(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M2π3，－2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．【例5】(2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点Pπ12，0，图象上与点P最近的一个最高点是Qπ3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．【作业：】1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(xy的图象，只要将函数xy2cos的图象（A）向左平移1个单位（B）向右平移1个单位（C）向左平移12个单位（D）向右平移12个单位2.【2012高考新课标文9】已知ω0，0，直线4x和45x是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A）π4（B）π3（C）π2（D）3π43、【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是4、【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sinx（其中0）的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点（34，0），则的最小值是（A）13（B）1C）53（D）25、【2012高考湖南文18】（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,02fxAxxR的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数()()()1212gxfxfx的单调递增区间.6、【2012高考重庆文19】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数()sin()fxAx（其中0,0,A）在6x处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为2（I）求()fx的解析式；（II）求函数426cossin1()()6xxgxfx的值域。7、【2012高考陕西文17】（本小题满分12分）函数()sin()16fxAx（0,0A）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，（1）求函数()fx的解析式；（2）设(0,)2，则()22f，求的值。8、【2012高考湖北文18】（本小题满分12分）设函数22sin23sincoscosfxxxxxxR的图像关于直线x=π对称，其中,为常数，且1,121.求函数f（x）的最小正周期；2.若y=f（x）的图像经过点,04，求函数f（x）的值域。9、已知向量(sin,1),(3cos,cos2)(0)3AmxnAxxA，函数()fxmn的最大值为6.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数()yfx的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()ygx的图象.求()gx在5[0,]24上的值域.10、【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）已知向量(cossin,sin)xxxa，(cossin,23cos)xxxb，设函数()fxab()xR的图象关于直线πx对称，其中，为常数，且1(,1)2.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）若()yfx的图象经过点π(,0)4，求函数()fx在区间3π[0,]5上的取值范围.11、【2012高考真题安徽理16】）(本小题满分12分)设函数22()cos(2)sin24fxxx。（I）求函数()fx的最小正周期；（II）设函数()gx对任意xR，有()()2gxgx，且当[0,]2x时，1()()2gxfx，求函数()gx在[,0]上的解析式。12、【2012高考真题重庆理18】（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）设)2cos(sin)6cos(4)(xxxxxf，其中.0（Ⅰ）求函数)(xfy的值域（Ⅱ）若)(xfy在区间3,22上为增函数，求的最大值.13、【2012高考真题天津理15】（本小题满分13分）已知函数.,1cos2)32sin()32sin()(2Rxxxxxf（