三角函数单调性与最值

——单调性与最值目标展示知识目标：正弦函数、余弦函数的单调性，最大值和最小值的概念；能力目标：会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值；情感目标：经历三角函数性质的探讨过程，培养学生运用函数图像分析、探究问题的能力；重、难点：利用函数周期性来研究他们的单调性及最值.1、正弦、余弦函数的定义域是什么？定义域都是Rx6yo--12345-2-3-41y=sinxx6o--12345-2-3-41yy=cosx自主合作2、正弦、余弦函数的值域是什么？值域都是[-1，1]，即|sinx|≤1,|cosx|≤1.232232XY022532711xcosyX252232232704Y11xsiny3、正弦、余弦函数的最小正周期是多少？正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是)0(2kZkk且2余弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是)0kZk(k2且2sin(-x)=-sinx(xR)图象关于原点对称y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)图象关于y轴对称y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称4、正弦、余弦函数的奇偶性xyo--1234-2-31223252722325xsinx2223…0………-1010-1探究解疑（一）正、余弦函数的单调性1.正弦函数的单调性当x∈_________时，曲线逐渐________,sinx的单调递增区间_____________当x∈_________时，曲线逐渐_________sinx的单调递减区间_______________22π，π上升22π，π232π，π下降232π，π2.余弦函数的单调性xcosx22-……0……-1010-1yxo--1234-2-31223252722325当x∈_______时，曲线逐渐_______,cosx的单调递增区间___________当x∈________时，曲线逐渐_______,cosx的单调递减区间___________0-π，上升0-π，，π0下降，π03.有正弦函数，余弦函数的周期性，得出结论.y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间单增区间单减区间y=sinxy=cosxπππ，πkk22322ｚｋππ，πkk22-ｚｋππ，πkk22ｚｋπππ，πkk2222-ｚｋ探究（二）：正、余弦函数的最值思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx和y=cosx取得最大值1和最小值－1？x6yo--12345-2-3-41y=sinxx6o--12345-2-3-41yy=cosx当且仅当时取得最大值x1正弦函数当且仅当时取得最大值x1余弦函数当且仅当时取得最大值x1当且仅当时取得最大值x1探究解疑（二）正、余弦函数的最值Zkk,22Zkk,22_Zkk,2Zkk,2_例1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：)417cos()523cos()2();10sin()18sin()1(与与反思提高(1)sin()与sin()1810解：218102又y=sinx在上是增函数]2,2[)10sin()18sin(ππ(2)cos()与cos()523417解：cos()=cos=cos523523535340又ｙ＝cosx在上是减函数],0[coscos453从而cos()cos()523417cos()=cos=cos4174417例2、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.RxxyRxxy,2sin3)2(,1cos)1(当堂检测1、函数的值域是xy2sin232、函数的最小正周期是)32cos(3xy3、函数的最小正周期是)23sin(2xy课堂小结1.正弦函数，余弦函数的单调区间；2.利用单调性比较三角函数值的大小，关键是利用诱导公式将角转化到三角函数的统一单调区间.课后作业P40-41练习：1，2，3，5，6.