三角函数图像性质-纯答案用卷

第1页，共22页三角函数图像性质【答案】1.B2.C3.B4.A5.A6.B7.D8.A9.D10.B11.A12.B13.D14.A15.A16.A17.D18.C19.D20.D21.B22.B23.B24.D25.D26.D27.B28.C29.B30.C31.D32.C33.B34.B35.C36.D37.A38.C39.𝜋240.−441.1242.(34,3)43.644.(1,√2)45.2+2√246.②③④47.③48.解：(1)𝑎→=(2sin⁡𝑥,cos2⁡𝑥)，𝑏→=(√3cos⁡𝑥,2)，由𝑓(𝑥)=𝑎→⋅𝑏→=2√3sin𝑥cos𝑥+2cos2𝑥=√3sin2𝑥+cos2𝑥+1=2sin(2𝑥+𝜋6)+1，∴𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋，由2𝑘𝜋+𝜋2≤2𝑥+𝜋6≤3𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，得：𝜋6+𝑘𝜋≤𝑥≤2𝜋3+𝑘𝜋，∴𝑓(𝑥)的单调递减区间为[𝜋6+𝑘𝜋,2𝜋3+𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍；(2)在区间[0,𝜋2]上时，可得：2𝑥+𝜋6∈[𝜋6,7𝜋6],当2𝑥+𝜋6=7𝜋6，时，函数𝑓(𝑥)取得最小值为2sin7𝜋6+1=0,当2𝑥+𝜋6=𝜋2时，函数𝑓(𝑥)取得最小值为2sin𝜋2+1=3,故得函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝜋2]上的最大值为3，最小值为0．49.解：∵函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥−cos2𝑥−2√3sin𝑥cos𝑥=−√3sin2𝑥−cos2𝑥=2sin(2𝑥+7𝜋6)第2页，共22页(Ⅰ)𝑓(2𝜋3)=2sin(2×2𝜋3+7𝜋6)=2sin5𝜋2=2，(Ⅱ)∵𝜔=2，故𝑇=𝜋，即𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋，由2𝑥+7𝜋6∈[−𝜋2+2𝑘𝜋,𝜋2+2𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍得：𝑥∈[−5𝜋6+𝑘𝜋,−𝜋3+𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍，故𝑓(𝑥)的单调递增区间为[−5𝜋6+𝑘𝜋,−𝜋3+𝑘𝜋]或写成[𝑘𝜋+𝜋6,𝑘𝜋+2𝜋3]，𝑘∈𝑍．50.解：(1)函数𝑓(𝑥)=cos𝜔𝑥⋅sin(𝜔𝑥−𝜋3)+√3cos2𝜔𝑥−√34(𝜔0,𝑥∈𝑅)，化简可得：𝑓(𝑥)=12sin𝜔𝑥cos𝜔𝑥−√32cos2𝜔𝑥+√3cos2𝜔𝑥−√34(𝜔0,𝑥∈𝑅)，=14sin2𝜔𝑥+√32cos2𝜔𝑥−√34=14sin2𝜔𝑥+√34cos2𝜔𝑥=12sin(2𝜔𝑥+𝜋3)∵函数𝑦=𝑓(𝑥)图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为𝜋4．∴𝑇=4×𝜋4=𝜋，∴2𝜋2𝜔=𝜋，故得𝜔=1．∴𝑓(𝑥)=12sin(2𝑥+𝜋3)，对称轴方程：2𝑥+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋，得：𝑥=12𝑘𝜋+𝜋12，𝑘∈𝑍．∴𝑓(𝑥)的对称轴方程为：𝑥=12𝑘𝜋+𝜋12，𝑘∈𝑍．(2)∵𝑓(𝐴)=0，即sin(2𝐴+𝜋3)=0，∴2𝐴+𝜋3=𝑘𝜋，∵0𝐴𝜋，∴𝐴=𝜋3，∵sin𝐵=45，𝑎=√3，由正弦定理，𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵，可得：√3√32=𝑏45，解得：𝑏=25．故得b的值为：25．51.解：(Ⅰ)∵𝑓(𝑥)=2sin2⁡(𝑥+𝜋4)−√3cos⁡2𝑥=[1−cos(𝜋2+2𝑥)]−√3cos2𝑥第3页，共22页=1+sin2𝑥−√3cos2𝑥=1+2sin(2𝑥−𝜋3)，又∵𝑥∈[𝜋4,𝜋2]，∴𝜋6≤2𝑥−𝜋3≤2𝜋3，即2≤1+2sin(2𝑥−𝜋3)≤3，∴𝑓(𝑥)∈[2,3]．(Ⅱ)∵|𝑓(𝑥)−𝑚|2，可得：𝑓(𝑥)−2𝑚𝑓(𝑥)+2，又∵𝑥∈[𝜋4,𝜋2]，∴𝑚𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥−2且𝑚𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛+2，∴1𝑚4，即m的取值范围是(1,4)．【解析】1.【分析】本题考查正弦函数的对称性，求得𝑓(𝑥)=sin(𝑥−𝜋4)的对称轴方程是关键，也可将选项中的数据代入曲线方程，使之取到最值即可，属于中档题.利用正弦函数的性质可求得𝑓(𝑥)=sin(𝑥−𝜋4)的对称轴方程，从而可选到答案．【解答】解：∵𝑓(𝑥)=sin(𝑥−𝜋4)的对称轴方程由𝑥−𝜋4=𝑘𝜋+𝜋2得：𝑥=𝑘𝜋+3𝜋4，∴当𝑘=−1时，𝑥=−𝜋4即为其一条对称轴的方程，故选B．2.【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数和余弦型函数的性质，属于基础题．先利用两角和与差的三角函数化简得到一个余弦型函数，然后研究它的对称性即可．【解答】解：化简可得𝑦=cos2𝑥−sin2𝑥=√2(√22cos2𝑥−√22sin2𝑥)=√2(cos𝜋4cos2𝑥−sin𝜋4sin2𝑥)=√2cos(2𝑥+𝜋4)令2𝑥+𝜋4=𝑘𝜋可得𝑥=𝑘𝜋2−𝜋8，𝑘∈𝑍，结合选项可知当𝑘=0时，函数的一条对称轴为𝑥=−𝜋8，故选C．3.解：将函数𝑦=2sin2𝑥的图象向左平移𝜋12个单位长度，得到𝑦=2sin2(𝑥+𝜋12)=2sin(2𝑥+𝜋6)，由2𝑥+𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈𝑍)得：𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)，第4页，共22页即平移后的图象的对称轴方程为𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)，故选：B．利用函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．本题考查函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0)的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．4.解：将函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜋6)的图象向左平移𝜋3个单位，得到函数𝑦=sin(𝑥+𝜋3+𝜋6)=cos𝑥的图象，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，得到函数𝑦=cos2𝑥的图象，由2𝑥=𝑘𝜋，得𝑥=12𝑘𝜋，𝑘∈𝑍∴所得图象的对称轴方程为𝑥=12𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，𝑘=−1时，𝑥=−𝜋2故选：A．先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，𝑦=𝐴cos(𝜔𝑥+𝜑)型函数的性质，准确写出变换后函数的解析式是解决本题的关键5.解：将函数𝑦=sin2𝑥+√3cos2𝑥=2sin(2𝑥+𝜋3)的图象向左平移𝜋6个单位长度，可得𝑦=2sin(2𝑥+𝜋3+𝜋3)=2sin(2𝑥+2𝜋3)的图象，令2𝑥+2𝜋3=𝑘𝜋+𝜋2，可得𝑥=𝑘𝜋2−𝜋12，𝑘∈𝑍，则平移后图象的对称轴方程为𝑥=𝑘𝜋2−𝜋12，𝑘∈𝑍，故选：A．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，根据函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得平移后图象的对称轴方程．本题主要考查两角和的正弦公式，函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题6.解：𝑓(𝑥)≤|𝑓(𝜋6)|，即𝑓(𝜋6)为函数𝑓(𝑥)最大值或最小值，即2×𝜋6+𝜑=𝑘𝜋+𝜋2，∴𝜑=𝑘𝜋+𝜋6，𝑘∈𝑍，∵𝑓(𝑥)图象的对称轴方程为2𝑥+𝜑=𝑚𝜋+𝜋2，𝑚∈𝑍，∴𝑥=𝑚𝜋2+𝜋4−12(𝑘𝜋+𝜋6)=12(𝑚−𝑘)𝜋+𝜋6，m，𝑘∈𝑍，当𝑚=2，𝑘=1时，𝑥=2𝜋3，第5页，共22页∴则𝑓(𝑥)图象的一条对称轴方程为𝑥=2𝜋3，故选：B先根据𝑓(𝑥)≤|𝑓(𝜋6)|，得到𝑓(𝜋6)为函数𝑓(𝑥)最大值或最小值，继而得到𝜑=𝑘𝜋+𝜋6，𝑘∈𝑍，由𝑓(𝑥)图象的对称轴方程为2𝑥+𝜑=𝑚𝜋+𝜋2，𝑚∈𝑍，得到𝑥=12(𝑚−𝑘)𝜋+𝜋6，m，𝑘∈𝑍，令𝑚=2，𝑘=1即可求出答案．本题考查了三角形函数的对称轴方程和三角形函数的最值问题，属于中档题．7.解：函数𝑓(𝑥)=2sin2(2𝑥+𝜋6)−sin(4𝑥+𝜋3)化简可得：𝑓(𝑥)=1−cos(4𝑥+𝜋3)−sin(4𝑥+𝜋3)=1−√2sin(4𝑥+7𝜋12)由对称中心横坐标，令：4𝑥+7𝜋12=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍．可得对称中心横坐标：𝑥=−7𝜋48+14𝑘𝜋．当𝑘=0时，可得𝑥=−7𝜋48．故选：D．将函数化为𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的形式，结合三角函数的图象和性质求解即可．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于基础题．8.解：将函数𝑦=sin(6𝑥+𝜋4)的图象上各点的横坐标长到原来的3倍，纵坐标不变，可得函数解析式为𝑦=sin(2𝑥+𝜋4)(𝑥系数变为原来的13)，函数的图象向右平移𝜋8个单位，则函数变为𝑦=sin[2(𝑥−𝜋8)+𝜋4]=sin2𝑥．令2𝑥=𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，则𝑥=𝑘𝜋2∴函数的对称中心坐标为(𝑘𝜋2,0)(𝑘∈𝑍)．当𝑘=1时，函数的一个对称中心坐标为(𝜋2,0)故选A．由题意根据伸缩变换、平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的一个对称中心即可．本题考查三角函数图象的伸缩、平移变换，函数的对称中心坐标问题，属于基础题．9.解：∵对任意𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥)+2𝑓(−𝑥)=3cos𝑥−sin𝑥①，用−𝑥代替x，得𝑓(−𝑥)+2𝑓(𝑥)=3cos(−𝑥)−sin(−𝑥)②，即𝑓(−𝑥)+2𝑓(−𝑥)=3cos𝑥+sin𝑥②；由①②组成方程组，解得𝑓(𝑥)=sin𝑥+cos𝑥，∴𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+𝜋4)，∴𝑓(2𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜋4).令2𝑥+𝜋4=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，求得𝑥=𝑘𝜋2−𝜋8，故函数𝑓(2𝑥)图象的对称中心为(𝑘𝜋2−𝜋8,0)，𝑘∈𝑍，第6页，共22页故选：D．根据题意求出函数𝑓(𝑥)的解析式，再化𝑓(𝑥)为正弦型函数，可得函数𝑓(2𝑥)的解析式，根据正弦函数的对称性，求出𝑓(2𝑥)图象的对称中心．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，求出函数𝑓(𝑥)的解析式是解题的关键，属于中档题．10.【分析】本题主要考查了正弦函数的有关性质，即值域与定义域.解题的关键是利用两角和与差的正弦公式，对函数解析式进行正确化简，以及对正弦函数的性质的熟练运用，属于基础题.根据两角和与差的正弦公式可得：𝑦=2sin(𝑥−𝜋6)，再根据题意可得𝑥−𝜋6∈[−𝜋6,5𝜋6]，然后利用正弦函数的图象可得−12≤sin(𝑥−𝜋6)≤1，进而得解．【解答】解：由题意可得：𝑦=√3sin𝑥−cos𝑥=2sin(𝑥−𝜋6)，因为𝑥∈[0,𝜋]，所以𝑥−𝜋6∈[−𝜋6,5𝜋6]，所以−12≤sin(𝑥−𝜋6)≤1，所以：−1≤𝑦≤2．故选B．11.【分析】化函数𝑓(𝑥)为正弦型函数，求出函数的最小正周期T；根据𝑓(𝑥)在区间[−1,𝑎]上至少取得2个最大值，得出a的取值范围，从而求出a的最小值.本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．【解答】解：函数𝑓(𝑥)=sin𝜋6𝑥cos𝜋6𝑥−√3sin2𝜋6𝑥=12sin𝜋3𝑥−√32(1−cos𝜋3𝑥)=sin(𝜋3𝑥+𝜋3)−√32，∴函数的最小正周期为𝑇=2𝜋𝜋3=6；又𝑓(𝑥)在区间[−1,