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知识点一集合的含义与表示1．集合的含义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．2．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．3．集合的相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.4．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．5．常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR6.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．知识点二集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集AB(或BA)2.子集的性质(1)规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(4)如果AB，BC，则AC.3．子集个数的计算若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．知识点三集合的运算1．交集自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}2.并集自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝B∩AA∪B＝B∪AA∩A＝AA∪A＝AA∩∅＝∅A∪∅＝AA⊆B⇔A∩B＝AA⊆B⇔A∪B＝B4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.5．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言题型一集合的运算例1(1)若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)1}，则A∩B等于()A．(2,4]B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4]D．(－∞，－1)∪[0,4](2)(2018年4月学考)已知集合P＝{x|0≤x＜1}，Q＝{x|2≤x≤3}．记M＝P∪Q，则()A．{0,1,2}⊆MB．{0,1,3}⊆MC．{0,2,3}⊆MD．{1,2,3}⊆M(3)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝________.答案(1)A(2)C(3){7,9}解析(1)∵A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2(x2－x)1}＝{x|x2－x2}＝{x|x－1或x2}，∴A∩B＝{x|2x≤4}＝(2,4]．(2)由题意知，M＝P∪Q＝[0,1)∪[2,3]，故选C.(3)∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∴∁UA＝{4,6,7,9,10}，∴(∁UA)∩B＝{7,9}．感悟与点拨(1)集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn图计算．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活运用这些关系，会使运算简化．跟踪训练1(1)已知集合P＝{x∈R||x|＜2}，Q＝{x∈R|－1≤x≤3}，则P∩Q等于()A．[－1,2)B．(－2,2)C．(－2,3]D．[－1,3](2)已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，则()A．M⊆NB．N⊆MC．M∩N＝{0,1}D．M∪N＝N(3)已知集合A＝{3，a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{2,3}B．{3,4}C．{2，2,3}D．{2,3,4}答案(1)A(2)C(3)D解析(3)∵A＝{3，a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{2}，∴a＝2，即a＝4，A＝{3,2}，b＝2，即B＝{2,4}，则A∪B＝{2,3,4}，故选D.题型二对Venn图的考查例2如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁ISD．(M∩P)∪∁IS答案C解析图中的阴影部分是M∩P的子集，阴影部分也是集合S的补集的子集，即是∁IS的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁IS，故选C.感悟与点拨对Venn图的考查主要是识图、用图．首先要理解图形的含义，将图形问题转化成符号运算；其次根据集合的相关运算求解．跟踪训练2如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.答案{x|0≤x≤1或x＞2}解析A∩B＝{x|1x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．题型三根据集合的运算求参数(或参数范围)例3设集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，集合B＝{x|1x5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}答案C解析因为集合A＝{x|a－1xa＋1}，所以要使A∩B＝∅，则只需a＋1≤1或a－1≥5.所以a≤0或a≥6，故选C.感悟与点拨(1)如有必要，则先对集合进行化简．(2)如有必要，根据运算性质进行讨论．如A∩B＝∅，可分A＝∅，A≠∅讨论．(3)用好数轴或Venn图．跟踪训练3(1)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案(1)0或98(2)－11解析(1)∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝23，符合要求；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝98.故a＝0或98.(2)A＝{x|－5＜x＜1}，又B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，A∩B＝(－1，n)，如图，∴m＝－1，n＝1.一、选择题1．设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素个数是()A．5B．4C．3D．2答案C解析将A用列举法表示得到A＝{x∈Z||x|≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{5,2,1}，所以B中的元素个数是3.2．已知集合M＝{x∈Z|－3x≤1}，则集合M的真子集的个数为()A．12B．14C．15D．16答案C解析M＝{－2，－1,0,1}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.3．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)等于()A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案B解析∵Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，即有∁RQ＝{x∈R|－2＜x＜2}，则P∪(∁RQ)＝(－2,3]．4．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－5x＋6≥0}，则下列结论中正确的是()A．A∩B＝BB．A∪B＝AC．A⊆BD．∁RA＝B答案C解析由x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.又集合A＝{x|－1≤x≤1}，∴A⊆B，故选C.5．设集合M＝{x|log2(x－1)＞0}，集合N＝{x|x≥－2}，则N∩(∁RM)等于()A．{x|x≤－2}B．{x|－2＜x≤2}C．{x|－2≤x≤3}D．{x|－2≤x≤2}答案D解析∵M＝{x|x＞2}，∴∁RM＝{x|x≤2}，∴N∩(∁RM)＝{x|－2≤x≤2}．6．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{0,1,3,5,8}，B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)等于()A．{5,8}B．{7}C．{0,1,3}D．{2,4,6}答案B解析方法一因为U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{0,1,3,5,8}，B＝{2,4,5,6,8}，所以∁UA＝{2,4,6,7}，∁UB＝{0,1,3,7}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{7}，故选B.方法二因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{7}，故选B.方法三图中的阴影部分表示(∁UA)∩(∁UB)，故选B.7．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞log2m}，若A⊆B，则实数m的取值范围是()A．(0,4]B.12，1C.0，12D.－∞，12答案C解析∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞log2m}，A⊆B，∴log2m≤－1，∴m∈0，12.故选C.8．已知集合P＝{0,1}，M＝{x|x⊆P}，则集合M的子集个数为()A．16B．32C．8D．64答案A解析∵集合P＝{0,1}，∴M＝{x|x⊆P}＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，含有4个元素的集合的子集个数为24＝16.故选A.9.设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}，B＝{x∈Z|－1＜x≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A．3B．4C．7D．8答案C解析∵A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有7个．10．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是()A．－1B．1C．3D．±1答案A解析因为全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，所以1,3是集合A中的元素，方法一所以a＋2＝1，a2＋2＝3或a＋2＝3，a2＋2＝1，由a＋2＝1，a2＋2＝3，得a＝－1.由a＋2＝3，a2＋2＝1，得a无解，所以a＝－1，故选A.方法二因为a2＋2≥2，所以a2＋2＝3，a＋2＝1，所以a＝－1，故选A.二、填空题11．已知集合A＝{x|x2－3x0，x∈N*}，则用列举法表示集合A＝________.答案{1,2}解析由集合A＝{x|x2－3x0，x∈N*}可得，集合A＝{x|0x3，x∈N*}＝{1,2}．12．已知集合A＝{x|x2≥16}，B＝{m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________________．答案(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析∵集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≤－4或x≥4}，B＝{m}，且A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≤－4或m≥4，∴实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．13．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x0或x1}，则图中阴影部分所表示的集合为___________．答案{x|x≤1或x2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x2}．14．设全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1,0,1,2,3}，若B⊆∁UA，则集合B的个数是________．答案4解析全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{－1,0,1,2,3}，∁UA＝{－2,4}，∵B⊆∁UA，则集合B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}，因此满足条件的集合B的个数是4.15．已知集合A＝{x||x－2|a}，B＝{x|x2－2x－30}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________．答案[3，＋∞)解析由|x－2|a，可得2－ax2＋a(a0)，∴A＝(2－a,2＋a)(a0)．由x2－2x－30，解得－1x3.B＝(－1,3)．∵B⊆A，则2