2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD,全解析)：必修1-§2

知识点一函数的概念1．函数的定义、定义域、值域2．两个函数相等的条件(1)定义域相同．(2)对应关系完全一致．知识点二函数的表示及分段函数1．函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．2．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．知识点三函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．(2)函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．(3)单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)0，则1fx为减(增)函数．2．函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．知识点四函数的奇偶性1．函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)结论函数f(x)是偶函数函数f(x)是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不为零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商(分母不为零)为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．题型一函数的定义域、值域例1(1)(2018年6月学考)函数y＝log2(x＋1)的定义域是()A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)(2)函数f(x)＝x＋2x－1的值域为____________．答案(1)A(2)12，＋∞解析(2)因为函数的定义域是12，＋∞，且函数为单调递增函数，所以函数的最小值是f12＝12，故函数的值域是12，＋∞.感悟与点拨(1)求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围．(2)在求函数定义域和值域的时候，要把定义域和值域写成集合或区间的形式．跟踪训练1(1)(2018年4月学考)函数f(x)＝x＋1x的定义域是()A．{x|x＞0}B．{x|x≥0}C．{x|x≠0}D．R(2)函数f(x)＝ln2＋x－x2|x|－x的定义域为________．答案(1)A(2)(－1,0)解析(1)由题意知，x≥0，x≠0，所以x＞0.(2)∵2＋x－x2＞0且|x|－x≠0，∴x∈(－1,2)且x∉[0，＋∞)，∴x∈(－1,0)．题型二函数的图象及图象的应用例2(2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y＝f(x)的图象的是()答案A解析当x＝0时，有两个y值对应，故A不可能是函数y＝f(x)的图象．感悟与点拨一个图象能不能作为函数的图象，关键是看它是否符合函数的定义及函数的特征．跟踪训练2已知函数f(x)＝－2x，－1≤x≤0，x，0＜x≤1，则下列函数的图象错误的是()答案D题型三分段函数例3已知函数f(x)＝132log,1,24,1,xxxxx则f(f(3))＝________，f(x)的单调递减区间是________．答案5[－1，＋∞)解析f(3)＝13log3＝－1，∴f(f(3))＝f(－1)＝－1＋2＋4＝5.当x≤1时，f(x)＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，对称轴为x＝－1，f(x)在[－1,1]上单调递减．当x1时，f(x)单调递减，且－12－2×1＋413log1，∴f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．感悟与点拨解决分段函数问题的关键是：在定义域内的自变量x取不同区间上的值时，有着不同的对应关系，要注意分别考虑．跟踪训练3已知函数f(x)＝sinπx，x＜0，fx－1－1，x＞0，则f－113＋f113＝________.答案－4解析f－113＋f113＝f－113＋f－13－4＝sin－11π3＋sin－π3－4＝－4.题型四函数的单调性及应用例4已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，求a的取值范围．解由题意可知－11－a1，－12a－11，解得0a1.①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1，即a23.②由①②可知，0a23，即所求a的取值范围是0，23.感悟与点拨利用函数的单调性，可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即转化为具体不等式来求解．跟踪训练4已知函数f(x)＝3a－1x＋4a，x≤1，logax，x1是R上的减函数，求实数a的取值范围．解由题意知，要使原函数在定义域上为减函数，则需要满足3a－10，0a1，3a－1×1＋4a≥loga1，解得17≤a13，故实数a的取值范围是17，13.题型五函数的奇偶性及应用例5(2016年4月学考改编)已知函数f(x)＝1x－1－1x－3.(1)设g(x)＝f(x＋2)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在[2,3)上是增函数．(1)解g(x)是偶函数，证明如下：∵f(x)＝1x－1－1x－3，∴g(x)＝f(x＋2)＝1x＋1－1x－1，∵g(－x)＝1－x＋1－1－x－1＝1x＋1－1x－1＝g(x)，又∵g(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}，∴y＝g(x)是偶函数．(2)证明设x1，x2∈[2,3)且x1x2，f(x1)－f(x2)＝1x1－1－1x1－3－1x2－1－1x2－3＝2x1－x2x1＋x2－4x1－1x1－3x2－1x2－3，∵x1，x2∈[2,3)且x1x2，∴x1－x20，x1＋x2－40，(x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3)0，综上得f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在[2,3)上是增函数．感悟与点拨(1)在奇、偶函数定义中，交换条件和结论仍成立．即若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．跟踪训练5(1)(2018年4月学考)用列表法将函数f(x)表示为x123f(x)－101则()A．f(x＋2)为奇函数B．f(x＋2)为偶函数C．f(x－2)为奇函数D．f(x－2)为偶函数答案A(2)(2017年4月学考改编)已知函数f(x)＝3|x－a|＋|ax－1|，其中a∈R.①当a＝1时，写出函数f(x)的单调区间；②若函数f(x)为偶函数，求实数a的值．解①当a＝1时，f(x)＝3|x－a|＋|ax－1|＝4|x－1|，函数f(x)的减区间为(－∞，1)，增区间为(1，＋∞)．②若函数f(x)为偶函数，一定有f(1)＝f(－1)，即3|1－a|＋|a－1|＝3|－1－a|＋|－a－1|，解得a＝0，经检验符合题意．一、选择题1．(2017年11月学考)函数y＝2－x＋1x＋1的定义域是()A．(－1,2]B．[－1,2]C．(－1,2)D．[－1,2)答案A解析由2－x≥0，x＋1＞0，得－1＜x≤2.2．已知函数f(x)＝1－2x，x＜0，3x，x≥0，则f(－1)＋f(0)等于()A．3B．4C．5D．6答案B解析f(－1)＋f(0)＝1－2－1＋30＝4.3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案B解析对于A，不符合定义域为{x|－2≤x≤2}，故可排除；对于B，满足函数定义，故符合；对于C，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以排除；对于D，因为值域不是{y|0≤y≤2}，故可排除，故选B.4．已知函数g(x)＝f(x)－x是偶函数，且f(3)＝4，则f(－3)等于()A．－4B．－2C．0D．4答案B解析∵g(－3)＝g(3)＝f(3)－3＝4－3＝1，又g(－3)＝f(－3)＋3＝1，∴f(－3)＝－2.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)的值为()A．－3B．－1C．1D．3答案A解析∵f(－1)＝2(－1)2－(－1)＝3，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.6．已知函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，且F(x)＝f(x)＋3g(x)＋5.若F(a)＝b，则F(－a)等于()A．－b＋10B．－b＋5C．b－5D．b＋5答案A解析∵f(x)，g(x)都是R上的奇函数，∴F(－a)＝f(－a)＋3g(－a)＋5＝－[f(a)＋3g(a)]＋5.又F(a)＝f(a)＋3g(a)＋5＝b，即f(a)＋3g(a)＝b－5，∴F(－a)＝－(b－5)＋5＝－b＋10.7．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为()A．2B．－2C．2或－2D．0答案C解析由题意知a≠0，当a0时，(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知，a＝±2.8．已知f(x)＝ax，x＞1，4－a2x＋2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)答案B解析∵f(x)是R上的单调递增函数，∴a＞1，4－a2＞0，a≥4－a2＋2，解得4≤a＜8.9．已知函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是()A．(a，－f(a))B．(a，f(－a))C．(－a，－f(a))D．(－a，－f(－a))答案B解析∵f(x)为偶函数，∴f(－a)＝f(a)，∴(a，f(－a))一定在y＝f(x)的图象上，故选B.10．已知函数f(x)满足f(4＋x)＝f(－x)．当x1，x2∈(－∞，2)时，fx2－fx1x2－x10；当x1，x2∈(2，＋∞)时，fx2－fx1x2－x10.若x1x2，且x1＋x24，则f(x1)，f(x2)的大小关系是()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不确定答案B解析∵f(4＋x)＝f(－x)，∴函数图象关于x＝2对称．∵当x1，x2∈(－∞，2)时，fx2－fx1x2－x10，∴此时函数单调递增．当x1，x2∈(2，＋∞)时，fx2－fx1x2－x10，∴此时函数单调递减．∵x1x2，且x1＋x24，∴若2x1x2，则f(x1)f(x2)；若x12x2，由x1＋x24，得x24－x1.∵x12，∴－x1－2，则4－x12，则f(x2)f(4－x1)．∵f(4＋x)＝