2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD,全解析)：必修1-§3

知识点一分数指数幂1．规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是：mna＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．知识点二指数函数及其性质1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数知识点三对数的概念及对数的运算1．定义一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝logaN，a叫做对数的底数，N叫做真数．2．特殊对数常用对数：以10为底数，记作lgN.自然对数：以e为底数，记作lnN，其中e`＝2.71828….3．对数和指数的关系当a0，a≠1，N0时，ax＝N⇔x＝logaN.4．对数的性质(1)负数和0没有对数．(2)loga1＝0.(3)logaa＝1.(4)logaNa＝N.(5)logaaN＝N.5．对数的运算如果a0，且a≠1，M0，N0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaMN＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．(4)logamMn＝nmlogaM.6．对数的重要公式(1)换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；(2)logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.知识点四对数函数及其性质1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象及其性质a10a1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0函数值的变化当0x1时，y0，当x1时，y0当0x1时，y0，当x1时，y0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数知识点五幂函数1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上是增函数在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(－∞，0)上是减函数；在(0，＋∞)上是减函数公共点(1,1)题型一指数幂、对数运算例1(1)(2017年4月学考)计算：lg4＋lg25等于()A．2B．3C．4D．10(2)(2018年4月学考)已知函数f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，则f(1)等于()A．1B．log26C．3D．log29答案(1)A(2)C解析(1)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2.(2)f(1)＝log2(3＋1)＋log2(3－1)＝2＋1＝3.感悟与点拨(1)在指数幂运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)在对数运算中，要灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝log2x，x＞0，3－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋flog312的值是()A．5B．3C．－1D.72(2)已知函数f(x)＝13x＋1，则f(log23)＋flog419＝________.答案(1)A(2)1解析(1)∵f(1)＝log21＝0，∴f(f(1))＝f(0)＝2.∵log312＜0，∴flog312＝31log23－＋1＝3log23＋1＝2＋1＝3.∴f(f(1))＋flog312＝2＋3＝5.(2)f(x)＋f(－x)＝13x＋1＋3x3x＋1＝1，又log419＝222log3－＝－log23，∴f(log23)＋flog419＝1.题型二函数的图象与性质例2函数f(x)＝log2(2x)的图象大致是()答案A解析函数f(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，可由y＝log2x的图象向上平移1个单位得到．y＝log2x的图象过(1,0)点且在(0，＋∞)上递增，其图象向上平移1个单位后，得到函数f(x)＝log2(2x)，图象过点12，0且在定义域内单调递增．感悟与点拨(1)①幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数的形式)；②可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、轴对称变换得到其图象．(3)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究，有时也可利用平移等方法，从原来标准函数入手分析．(4)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小、解不等式等．跟踪训练2(1)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()(2)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象为()答案(1)B(2)C解析(1)∵lga＋lgb＝0，∴lgab＝0，即ab＝1.A项，∵g(x)的定义域为{x|x0}，∴A错误；B项，由图象知指数函数单调递增，∴a1，此时g(x)单调递增，满足条件；C项，由图象知指数函数单调递减，∴0a1，此时g(x)单调递减，不满足条件；D项，由图象知指数函数单调递增，∴a1，此时g(x)单调递增，不满足条件．故选B.(2)由二次函数的图象易得－1＜b＜0，a＞1，则函数g(x)＝ax＋b单调递增，当x＝0时，g(0)＝a0＋b＝b＋1∈(0,1)，即函数图象在y轴上的截距在(0,1)内，故选C.题型三幂函数、指数函数、对数函数的单调性例3(2016年10月学考)设函数f(x)＝2ex，g(x)＝e3x，其中e为自然对数的底数，则()A．对于任意实数x恒有f(x)≥g(x)B．存在正实数x0使得f(x0)g(x0)C．对于任意实数x恒有f(x)≤g(x)D．存在正实数x0使得f(x0)g(x0)答案D解析2e＝63e，e3＝e23e，所以02ee31，作函数f(x)和g(x)的草图如图所示，易知D正确．感悟与点拨(1)函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性．对指数、对数、幂函数来说就是单调性．(2)要熟练掌握单调增函数(或减函数)的特征，充分利用数形结合进行求解．跟踪训练3若loga(a2＋1)loga2a0(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是()A．(0,1)B.12，1C.0，12D.()1，＋∞答案B解析因为a2＋1－2a＝(a－1)20，所以a2＋12a.由loga(a2＋1)loga2a知，0a1.又loga2a0＝loga1，所以2a1，解得a12.综上所述，12a1.故选B.题型四指数函数、对数函数的综合应用例4已知定义在R上的奇函数f(x)＝a·3x＋3－x，a为常数．(1)求a的值；(2)用单调性定义证明f(x)在[0，＋∞)上是减函数；(3)解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)0.(1)解∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1，经检验，符合题意．(2)证明由(1)知f(x)＝－3x＋3－x，设x1x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝23x－13x＋13x－－23x－，∵x1x2≥0，∴－x1－x2，∴23x13x，13x－23x－，即23x－13x0,13x－－23x－0，∴f(x1)－f(x2)＝23x－13x＋13x－－23x－0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．(3)解∵f(x)是奇函数且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在R上是减函数．∵f(x－1)＋f(2x＋3)0，∴f(2x＋3)－f(x－1)＝f(1－x)，∴2x＋31－x，解得x－23.即不等式的解集为－23，＋∞.感悟与点拨解决指数函数、对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质，都要注意：(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．跟踪训练4已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解(1)∵a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，又当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即当x∈[0,2]时，3－ax＞0恒成立，∴3－2a＞0，∴a＜32.又a＞0且a≠1，∴a∈(0,1)∪1，32.(2)假设存在实数a使f(x)在[1,2]上为减函数，则f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)＝1，此时a＝32，f(x)＝323log32x，当x＝2时，f(x)没有意义．故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.一、选择题1．(2017年4月学考)函数y＝3α的值域为()A．(0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(0,1]D．(0,3]答案A2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是()答案D解析根据函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax知函数图象为幂函数的一部分和对数函数图象．A选项没有幂函数图象，不符合；B选项f(x)＝xa(x≥0)中a＞1，而g(x)＝logax(x＞0)中0＜a＜1，不符合；C选项f(x)＝xa(x≥0)中0＜a＜1，而g(x)＝logax(x＞0)中a＞1，不符合；D选项两者都是0＜a＜1，符合，故选D.3．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3答案A解析∵函数y＝xα的定义域为R，∴α≠－1和12.当α＝1和3时，y＝xα为奇函数，故选A.4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是单调增函数的是()A．y＝1xB．y＝|x|－1C．y＝lgxD．y＝12|x|答案B解析对于A，y＝1x为定义域上的奇函数，不满足题意；对于B，y＝|x|－1是定义域R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是单调增函数，满足题意；对于C，y＝lgx是非奇非偶的函数，不满足题意；对于D，y＝12|x|是定义域上的偶函数，但在(0，＋∞)上是单调减函数，不满足题意．故选B.5．函数y＝22112xx＋－的值域是()A．(－∞，4)B．(0，＋∞)C．(0,4]D．[4，＋∞)答案C解析令t＝x2＋2x－1，则t＝(x＋1)2－2≥－2，∴y＝12t≤12－2＝4.又y＝12t＞0，∴0＜y≤4.6．已知函数f(x)＝3x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则方程f(x)＝0的实数解x