2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修4 §2

知识点一周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．注意：并非所有函数都有最小正周期．以后的学习中，函数周期均指最小正周期．(1)y＝sin(ωx＋φ)或y＝cos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期T＝2π|ω|.(2)y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝π|ω|.知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增最值当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)π2＋kπ，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)对称轴方程x＝π2＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ知识点三y＝Asin(ωx＋φ)的图象1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：ωx＋φ0π2π3π22πx0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈R振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ知识点四函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤题型一三角函数的周期性、对称性及单调性例1(1)(2017年11月学考)下列函数中，最小正周期为π的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝tanxD．y＝sinx2(2)函数f(x)＝sinx－π4的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2答案(1)C(2)C解析(1)y＝sinx，y＝cosx的周期是2π，y＝sinx2的周期为4π，y＝tanx的周期为π，故选C.(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，∴令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ＋3π4，k∈Z.取k＝－1，则x＝－π4.感悟与点拨(1)掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的周期．(2)对于复杂的三角函数可先化为y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的形式，然后再求周期：T＝2π|ω|.(3)在求对称轴或单调区间时，通常把“ωx＋φ”看作一个整体．跟踪训练1(1)(2016年4月学考)已知函数f(x)＝2sinx＋π2＋3，x∈R，则f(x)的最小正周期是______，最小值是________．(2)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案(1)2π1(2)32解析(1)T＝2π|ω|＝2π1＝2π，∵sinx＋π2∈[－1,1]，∴当sinx＋π2＝－1时，f(x)min＝2×(－1)＋3＝1.(2)f(x)＝sinωx的图象过原点，由已知条件画图象(图略)可知，π3为该函数的四分之一周期，所以2πω＝4π3，得ω＝32.题型二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例2(1)(2018年6月学考)要得到函数f(x)＝sin2x－π4的图象，只需将函数g(x)＝sin2x的图象()A．向右平移π8个单位长度B．向左平移π8个单位长度C．向右平移π4个单位长度D．向左平移π4个单位长度(2)将函数y＝sin2x－π3图象上的点Pπ4，t向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A．t＝12，s的最小值为π6B．t＝32，s的最小值为π6C．t＝12，s的最小值为π3D．t＝32，s的最小值为π3答案(1)A(2)A解析(2)由题意得t＝sin2·π4－π3＝12，故此时P′所对应的点为P′π4－s，12，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则sinπ2－2s＝cos2s＝12，所以2s＝±π3＋2kπ，k∈Z，得s＝±π6＋kπ，k∈Z.由s＞0，得当k＝0时，smin＝π6.感悟与点拨三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名称统一，再进行变换．跟踪训练2(1)要得到余弦曲线y＝cosx，只需将正弦曲线y＝sinx向左平移()A.π2个单位长度B.π3个单位长度C.π4个单位长度D.π6个单位长度(2)若把函数y＝sinωx－π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是()A．2B.32C.23D.12答案(1)A(2)A解析(1)∵cosx＝sinx＋π2，∴余弦函数y＝cosx的图象可看作正弦函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度得到，故选A.(2)把函数y＝sinωx－π6的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝sinωx＋ω3π－π6的图象．∵函数y＝sinωx＋ω3π－π6的图象与函数y＝cosωx的图象重合，∴由诱导公式可得ω3π－π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋6k(k∈Z)，当k＝0时，ω＝2.题型三求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例3(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f(0)＝3，则()A．ω＝12，φ＝π6B．ω＝12，φ＝π3C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝π3(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，|φ|＜π2，ω＞0的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为________________．答案(1)D(2)f(x)＝2sin2x＋π6解析(1)∵f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f(0)＝2sinφ＝3，即sinφ＝32|φ|＜π2，∴φ＝π3.(2)观察图象可知，A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin2x＋π6.感悟与点拨根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，确定函数的最大值和最小值，则A＝最大值－最小值2；(2)k的确定：k＝最大值＋最小值2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝2πω(ω＞0)来确定ω；(4)φ的确定：常用的方法有：①五点法：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点图象上升)的横坐标为－φω即令ωx＋φ＝0，x＝－φω来确定φ；②代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时A，ω，k已知)求解，要注意已知点是在上升区间上还是下降区间上．跟踪训练3已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0φπ2的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2sin2x＋π3B．f(x)＝2sinx＋π3C．f(x)＝2sin2x＋π6D．f(x)＝2sinx＋π6答案B解析由图象知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝47π6－2π3＝2π＝2πω，解得ω＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)，由题图知2π3＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3，故f(x)＝2sinx＋π3.题型四函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x∈R的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈－6，－23时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x值．解(1)由图象知A＝2，T＝8，∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)，∴2sin－π4＋φ＝0.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sinπ4x＋π4＋2sinπ4x＋π2＋π4＝2sinπ4x＋π4＋2cosπ4x＋π4＝22sinπ4x＋π2＝22cosπ4x.∵x∈－6，－23，∴－3π2≤π4x≤－π6，∴当π4x＝－π6，即x＝－23时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；当π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.感悟与点拨利用函数的图象确定解析式后，求出y＝f(x)＋f(x＋2)，然后化成一个角的三角函数形式，利用整体思想(将ωx＋φ视为一个整体)求函数的最值．跟踪训练4(1)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(ω＞0,0＜θ＜π)，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则()A．ω＝2，θ＝π2B．ω＝12，θ＝π2C．ω＝12，θ＝π4D．ω＝2，θ＝π4(2)已知f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)，fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案(1)A(2)143解析(1)∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0＜θ＜π，∴θ＝π2.∵图象与直线y＝2的两个交点的横坐标为x1，x2，且|x2－x1|min＝π，∴2πω＝π，ω＝2.(2)∵f(x)在π6，π3上只有最小值，无最大值，且fπ6＝fπ3，∴f(x)在x＝π6＋π32＝π4处取得最小值，∴π4ω＋π3＝－π2＋2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k－103(k∈Z)，由ω＞0得，①当k＝1时，ω＝143，②当k＝2时，ω＝383，此时f(x)在区间π6，π3内存在最大值，不合题意．故ω＝143.一、选择题1．f(x)＝tan2x是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A2．函数y＝cos2x＋π3的图象的一条对称轴方程是()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝πD．x＝－π6答案D解析由2x＋π3＝kπ，k∈Z，得x＝－π6＋k2π，k∈Z，当k＝0时，x＝－π6.3．函数y＝sinx2的图象是()答案D解析因为y＝sinx2为偶函数，所以它的图象关于y轴对称，排除A，C选项；当x＝π2时，y＝sinπ24≠1，排除B选项，故选D.4．函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是()A.kπ2＋π6，kπ2＋2π3(k∈Z)B.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)答案B解析由kπ－π22x－π3kπ＋π2，k∈Z，解得kπ2－π12xkπ2＋5π12，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)．5．把函数y＝sin2x＋π3的图