2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5 §1

知识点一正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理内容(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R变形(2)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(4)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA知识点二余弦定理定理余弦定理内容a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab知识点三三角形面积公式1．S△ABC＝12ah(h表示边a上的高)．2．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.3．S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)．知识点四解三角形1．已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.2．已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．3．已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a，b，c，可以应用余弦定理求A，B，C.5．判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化，根据边的关系或角的关系确定三角形的形状．6．在△ABC中，a＞b＞c⇔A＞B＞C⇔sinA＞sinB＞sinC.题型一正、余弦定理的应用例1(1)(2017年4月学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，A＝60°，B＝45°，则b的长为()A.22B．1C.2D．2(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且b＜c，则b等于()A．3B．22C．2D.3答案(1)C(2)C解析(1)由正弦定理asinA＝bsinB得，b＝asinBsinA＝3sin45°sin60°＝2.(2)由b2＋c2－2bccosA＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b＜c＝23，所以b＝2.感悟与点拨(1)一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，就要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，就考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．跟踪训练1(1)(2018年4月学考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，则cosC的取值范围是________．答案53，1解析设BC＝a，由22＝a2＋32－2×3×acosC，得cosC＝a2＋9－46a＝a6＋56a≥2a6×56a＝53，当且仅当a＝5时，等号成立．∴53≤cosC＜1.(2)(2016年10月学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C＝3cosC，C为锐角．①求角C的大小；②若a＝1，b＝4，求边c的长．解①由sin2C＝3cosC，得2sinCcosC＝3cosC，因为C为锐角，所以cosC≠0，从而sinC＝32.故角C的大小是π3.②由a＝1，b＝4，根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝13，所以边c的长为13.题型二判断三角形的形状例2(2016年4月学考)在△ABC中，已知A＝30°，AB＝3，BC＝2，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定答案A解析由正弦定理BCsinA＝ABsinC，得sinC＝AB·sinABC＝3sin30°2＝34，cosC＝±1－342＝±74，当cosC＝－74时，C为钝角，则△ABC为钝角三角形．当cosC＝74时，cosB＝cos[180°－(A＋C)]＝－cos(A＋C)＝－()cosAcosC－sinAsinC＝－32×74－12×34＝－21－380，∴B为钝角．故△ABC为钝角三角形．感悟与点拨依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．跟踪训练2在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解∵sinC＋sin(B－A)＝sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，∴2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0.①当cosA＝0即A＝π2时，△ABC为直角三角形．②当sinA－sinB＝0时，sinA＝sinB，∴a＝b，此时△ABC为等腰三角形．综上，△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形．题型三与三角形面积有关的问题例3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．(1)证明由正弦定理得，b＋c＝2acosB⇒sinB＋sinC＝2sinAcosB，所以2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，则sinB＝sin(A－B)，又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，即A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由S＝a24得，12absinC＝a24，由正弦定理及(1)得12sinAsinBsinC＝14sin2A，sinBsinC＝12sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，得sinC＝cosB．又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.感悟与点拨有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等．跟踪训练3(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝2sinB，c＝4，C＝π3，则△ABC的面积为()A.83B.163C.1633D.833答案D解析由sinA＝2sinB，得a＝2b，由c2＝a2＋b2－2abcosC，得b＝433，a＝833.∴S＝12absinC＝833.(2)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.①若a＝b，求cosB；②设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．解①由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.②由题意知，b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2.所以△ABC的面积S＝12ac＝1.题型四解三角形应用举例例4已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km答案D解析如图所示，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝700，所以AC＝107(km)．感悟与点拨(1)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(2)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(3)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．跟踪训练4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案1006解析由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．一、选择题1．(2018年6月学考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝45°，C＝30°，c＝1，则b等于()A.22B.32C.2D.3答案C2．△ABC中，若a＝1，c＝2，B＝60°，则△ABC的面积为()A.12B.32C．1D.3答案B解析S＝12ac·sinB＝12×1×2×32＝32.3．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．60°B．30°C．60°或120°D．30°或150°答案C解析根据正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝32，又a＜b,0＜B＜180°，∴B＝60°或120°.4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3答案C解析由a2＝b2＋bc＋c2，得b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.5．如图所示，为测一树的高度，在地面选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(30＋303)mB．(30＋153)mC．(15＋303)mD．(15＋153)m答案A解析由正弦定理可得ABsin45°－30°＝PBsin30°，解得PB＝60×12sin45°－30°，又sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24，所以h＝PB·sin45°＝30sin45°－30°·sin45°＝(30＋303)m.6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC的值为()A.725B．－725C．±725D.2425答案A解析由正弦定理bsinB＝csinC，将8b＝5c及C＝2B代入得bsinB＝85bsin2B，化简得1sinB＝852sinBcosB，则cosB＝45，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×452－1＝725.7．在△ABC中，已知sin2A2＝c－b2c，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案B解析因为sin2A2＝c－b2c，所以1－cosA2＝c－b2c.利用正弦定理得1－cosA2＝sinC－sinB2sinC，化简得sinC－sinCcosA＝sinC－sinB，所以sinCcosA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝0.又sinA≠0，所以cosC＝0，又C∈(0，π)，所以C＝π2，所以△ABC为直角三角形．8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为32，则b等于()A．1＋3B.1＋32C.2＋32D．2＋3答案A解析由12ac·sin30°＝32，得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－3ac＝4b2－12－63，∴b＝3＋1.9．在△ABC中，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A.32B.22C.12D．－12答案C解析∵在△ABC中，a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a2＋b222ab＝a2＋b24ab≥2ab4ab