2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5 §2

知识点一数列的概念与简单表示1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．3．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．数列的前n项和(1)数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an(n≥1)(2)Sn与an的关系已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.知识点二等差数列的定义1．定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项．知识点三等差数列的通项公式与性质1．如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．2．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．3．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.特别地若k＋l＝2p，则ak＋al＝2ap(p∈N*)．4．若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.5．若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．6．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．知识点四等差数列的前n项和公式1．设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.2．等差数列的前n项和公式与函数的关系(1)Sn＝d2n2＋a1－d2n.(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．3．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．4．等差数列前n项和的性质若{an}是等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．题型一数列的递推公式例1(1)(2016年4月学考)已知数列{an}(n∈N*)满足an＋1＝2an，n为奇数，an＋1，n为偶数，设Sn是数列{an}的前n项和，若S5＝－20，则a1的值为()A．2B．0C．1D．－2(2)已知数列{an}，a1＝1，且an－1－an＝an－1an(n≥2，n∈N*)，则an＝________.答案(1)D(2)1n解析(1)由题意知，a2＝2a1，a3＝a2＋1＝2a1＋1，a4＝2a3＝2(2a1＋1)＝4a1＋2，a5＝a4＋1＝4a1＋3，∴S5＝a1＋2a1＋(2a1＋1)＋(4a1＋2)＋(4a1＋3)＝13a1＋6＝－20，∴a1＝－2.(2)由an－1－an＝an－1an(n≥2)，得1an－1an－1＝1，∴1an是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴1an＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝1n.感悟与点拨(1)由递推公式求第n项，通常用迭代法求解．(2)由递推公式求通项，通常先进行变形，根据变形后的形式，构造成等差或等比数列求解或用累加或累乘等方法求解．跟踪训练1(1)数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1等于()A．2B.12C．－1D．1(2)设数列{an}中，已知a1＝1，an＝1＋1an－1(n＞1)，则a4等于()A.85B.53C.32D．2答案(1)B(2)B解析(1)由题意知an＋1＝11－an，a8＝2，令n＝7，代入上式得a8＝11－a7，解得a7＝12.令n＝6，代入得a7＝11－a6，解得a6＝－1.令n＝5，代入得a6＝11－a5，解得a5＝2.根据以上结果发现，求得结果按2，12，－1循环．因为8＝2×3＋2，故a1＝12.题型二等差数列例2(1)(2018年4月学考)设{an}，{bn}(n∈N*)是公差均不为零的等差数列，下列数列中，不构成等差数列的是()A．{an·bn}B．{an＋bn}C．{an＋bn＋1}D．{an－bn＋1}(2)(2016年10月学考)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a4＝8，S4＝20，则a3等于()A．2B．4C．6D．8答案(1)A(2)C解析(2)设数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意知，a4＝a1＋3d＝8，S4＝4a1＋6d＝20，即a1＝2，d＝2，所以a3＝a1＋2d＝6.感悟与点拨(1)判断一个数列是否为等差数列可以用以下几种方法：①定义法：an＋1－an＝d；②中项法：2an＝an＋1＋an－1(n≥2)；③通项法：an＝kn＋b；④前n项和法：Sn＝An2＋Bn.(2)求通项或前n项和，可以用基本量法．跟踪训练2(1)(2017年4月学考)已知数列1，a,5是等差数列，则实数a的值为()A．2B．3C．4D.5(2)在数列{an}(n∈N*)中，设a1＝a2＝1，a3＝2，若数列an＋1an是等差数列，则a6＝________.答案(1)B(2)120解析(2)由题意得a2a1＝1，a3a2＝2，所以数列an＋1an是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＋1an＝n，所以a6＝5a5＝5×4a4＝5×4×3a3＝120.题型三等差数列的综合问题例3(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()A．5B．6C．7D．8答案B解析∵a5＋a7＝2a6＝4，∴a6＝2，a6＋a8＝2a7＝－2，∴a7＝－1，∴d＝a7－a6＝－3，由于a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn最大．(2)已知数列{an}的首项为a1＝3，通项an与前n项和Sn之间满足2an＝Sn·Sn－1(n≥2)．①求证：1Sn是等差数列，并求公差；②求数列{an}的通项公式．①证明由2an＝2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1(n≥2)，得1Sn－1Sn－1＝－12(n≥2)．∴1Sn是等差数列，且首项为13，公差为－12.②解由1Sn＝13＋(n－1)－12，得Sn＝65－3n.当n＝1时，a1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝183n－53n－8.∴an＝3，n＝1，183n－53n－8，n≥2.感悟与点拨(1)等差数列的前n项和的最大值、最小值问题，通常用①寻找数列{an}中的变号项an.②Sn是关于n的二次函数，用二次函数求最值的思路．(2)求等差数列的通项公式，具体方法是根据题中信息灵活选择公式，求出首项和公差，或用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得．跟踪训练3(1)在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，则Sn的最大值为________．答案169解析∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋99－12d＝17×25＋1717－12d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋nn－12×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴当n＝13时，Sn有最大值169.(2)已知等差数列{an}中，S3＝21，S6＝24.①求数列{an}的通项公式；②设数列{|an|}的前n项和为Tn，求T20.解①设等差数列{an}的公差为d，则3a1＋3×22d＝21，6a1＋6×52d＝24，解得a1＝9，d＝－2.所以an＝9＋(n－1)×(－2)＝11－2n(n∈N*)．②由an＝11－2n≥0，得n≤5.5.又n∈N*，所以当n≤5时，an＞0；当n≥6时，an＜0.又数列{|an|}的前n项和为Tn，所以T20＝|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|a20|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－…－a20＝－(a1＋a2＋…＋a5＋a6＋…＋a20)＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－20a1＋20×192d＋25a1＋5×42d＝－10a1－170d＝－10×9－170×(－2)＝250.一、选择题1．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝nn＋1，则1a5等于()A.56B.65C.130D．30答案D2．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，则n的值为()A．8B．9C．10D．11答案C解析Sn－Sn－3＝an＋an－1＋an－2＝3an－1＝51，∴an－1＝17，又∵Sn＝na1＋an2＝na2＋an－12＝100，∴n＝10.3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于()A．9B．10C．11D．12答案B解析∵a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7，∴d＝a4－a13＝2，由Sn＝na1＋nn－12d＝n＋n(n－1)＝n2＝100，得n＝10.4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1B．1C．3D．7答案B解析由条件得3a1＋6d＝105，3a1＋9d＝99，即a1＋2d＝35，a1＋3d＝33，解得d＝－2，a1＝39，∴a20＝39＋19×(－2)＝1.5．在数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于()A.259B.2516C.6116D.3115答案C解析∵a1·a2＝4，∴a2＝4，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝94，∵a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴42·a5＝52，∴a5＝2516，∴a3＋a5＝94＋2516＝6116.6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19等于()A．55B．95C．100D．190答案B解析∵{an}是等差数列，∴a1＋a19＝a3＋a17＝10，∴S19＝19a1＋a192＝192×10＝95.7．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，anan＋1－an－1an＝12(n≥2，n∈N*)，则a5的值为()A.245B.215C.13D.23答案B解析由题意得当n＝2时，a2a3－a1a2＝12，即1a3－11＝12，解得a3＝23，当n＝3时，a3a4－a2a3＝12，即23a4－123＝12，解得a4＝13，当n＝4时，a4a5－a3a4＝12，即13a5－2313＝12，解得a5＝215，故选B.8．等差数列{an}中，已知a50，a4＋a70，则{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S7B．S6C．S5D．S4答案C解析因为a4＋a7＝a5＋a60，a50，所以a50，a60，所以Sn的最大值为S5.9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100答案A解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为a5＝5，S5＝15，所以a1＋4d＝5，5a1＋5×5－12d＝15，所以a1＝1，d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n.所以1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，所以数列1anan＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…[phone]＝1－1101＝100101.10．如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52等于()A．2B．8C．7D．4答案C解析第一行