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高三总复习数学(大纲版)第六节空间距离高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)考纲要求1.掌握两条直线的距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．2.掌握直线和平面的距离的概念．3.掌握两个平行平面间的距离的概念．考试热点1.以客观题考查两条异面直线的距离，直线和平面的距离或两个平行平面间的距离．2.以几何体为载体考查点到平面的距离，一般是解答题中的一问.高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)1．点到直线的距离一般要利用三垂线定理找到垂线段，通过解直角三角形求出垂线段之长，或转化为向量的模长问题．高三总复习数学(大纲版)2．点到平面距离的求解方法一般有三种：①直接法：从该点向平面引垂线，该点与垂足间的距离即为所求．用此法解题的关键是确定垂足的位置，而确定垂足位置的主要依据是两个平面垂直的性质定理．②把点到平面的距离转化为以该点为顶点，平面内的一个三角形为底面的三棱锥的高，再通过变换三棱锥顶点用等体积法求出点到平面的距离．高三总复习数学(大纲版)③向量法：设PA是平面α的斜线(A为斜足，P为平面α外一点)，向量n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离．高三总复习数学(大纲版)注：关于平面α的法向量的求法：设a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)为平面α内不共线的两向量，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，由可得n＝(a3，b3，c3)，其中a3，b3，c3是已知实数．高三总复习数学(大纲版)3．求直线到平面的距离，通常转化为直线上一特殊点到平面的距离，其解法同点面距离的解法．4．两个平行平面的距离：求解时，在一个面内任取一点，作它到另一平面的垂线段，垂线段的长就是所求，实质上也是点到平面的距离，因此，点面距离的求解方法，对求解面到面的距离仍然适用．高三总复习数学(大纲版)5．两条异面直线间的距离：要特别注意定义中的“都垂直且相交”的理解，两条异面直线距离是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条，求解方法主要有：①定义法：找出两条异面直线的公垂线段，求出其长度．②向量法：设向量n是异面直线l1，l2公垂线上的方向向量，A∈l1，B∈l2，则两条异面直线的距离高三总复习数学(大纲版)1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()高三总复习数学(大纲版)解析：取BC中点E，连结A1E、AE，则平面A1EA⊥平面A1BC，过A作AM⊥A1E于M，必有AM⊥平面A1BC.又AB＝2，∴AE＝3.∴AM＝3·1(3)2＋1＝32.故选B.答案：B高三总复习数学(大纲版)2．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有()A．3个B．4个C．6个D．7个解析：当三点在平面α一侧，一点在另一侧时，有4种情况．当两点在平面α一侧，另两点在平面α另一侧时，有3种情况．∴这样的平面α共有7个，选D.答案：D高三总复习数学(大纲版)3．ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为()高三总复习数学(大纲版)解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求．易证CE＝1.故选D.答案：D高三总复习数学(大纲版)4．平面α内有Rt△ABC，∠C＝90°，P是平面α外一点，且PA＝PB＝PC，P到α的距离是40cm，AC＝18cm，则点P到BC边的距离是________．高三总复习数学(大纲版)解析：作PO⊥平面ABC，垂足为O，如图1，∵PA＝PB＝PC，AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心．又∵∠ACB＝90°，∴O是AB边的中点．作OD⊥BC，由三垂线定理知PD⊥BC.高三总复习数学(大纲版)∴PD是点P到BC边的距离，且OD綊12AC.∴OD＝9cm.在Rt△POD中，PD＝PO2＋OD2＝41(cm)．故点P到BC的距离为41cm.答案：41cm高三总复习数学(大纲版)5．如图2，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OH⊥O1B，垂足为H.(1)求证：MO∥平面BB1C1C；(2)分别求MO与OH的长；(3)MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线？为什么？求这两条异面直线间的距离．高三总复习数学(大纲版)解：(1)证明：连结B1C，∵MO是△AB1C的中位线，∴MO∥B1C.∵B1C⊂平面BB1C1C，∴MO∥平面BB1C1C.(2)MO＝12B1C＝22a，∵OH是Rt△BOO1斜边上的高，BO＝22a，∴OH＝33a.高三总复习数学(大纲版)(3)MO不是A1B与AC的公垂线，MO∥B1C，△AB1C为正三角形，∴MO与AC成60°角．∵AC⊥BD，AC⊥OO1，∴AC⊥面BOO1.∵OH⊂面BOO1，∴OH⊥AC，OH⊥A1C1.∵OH⊥O1B，A1C1∩O1B＝O1，∴OH⊥面BA1C1，OH⊥A1B.∴OH是异面直线A1B与AC的公垂线，其长度即为这两条异面直线的距离．由(2)可知，距离为高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)点到平面的距离问题[例1]如图3所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．求：(2)P点到平面EFB的距离；高三总复习数学(大纲版)[解]建立空间直角坐标系，使得D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、M(0,0，a)、E(a,0，a)、F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)(2)设n＝(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，即|n|＝1，n⊥平面EFB，高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)如图4，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，PA⊥面ABCD，且PA＝1，E为BC的中点．(1)求二面角P－DE－A的大小；(2)求点B到平面PDE的距离．高三总复习数学(大纲版)解：(1)∵E为中点，∴BE＝1又AB＝2，∠ABE＝60°，∴△ABE为Rt△，∴∠AEB＝90°＝∠EAD以A为原点，建立如图5所示的坐标系．高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)线面距离与面面距离问题[例2]如图6，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD与平面GB1D1的距离．[分析]线到面的距离转化为点到面的距离．高三总复习数学(大纲版)[解]解法1：∵BD∥平面B1D1G，∴BD上任意一点到平面B1D1G的距离皆为所求．故可求底面中心O到平面B1D1G的距离，易证平面A1ACC1与平面B1D1G垂直，O′G是此二垂直平面的交线，故只要作OH⊥O′G于H，则OH即为所求．高三总复习数学(大纲版)解法2：如果选择求B点到平面B1D1G的距离，由于垂足位置不易确定，所以利用体积关系求距离．设B到平面B1D1G的距离为h.高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]求线面距离，关键是选恰当的点，本题解法一直接作出距离，对掌握面面垂直、线面垂直有帮助；解法二较为简捷，考查学生的图形变换能力．高三总复习数学(大纲版)如图7所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a.(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)求平面AB1D1和平面C1BD间的距离．高三总复习数学(大纲版)解：(1)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B1D1∥BD.BD⊂平面C1BD.∴B1D1∥平面C1BD.同理D1A∥平面C1BD.∵B1D1和D1A是平面AB1D1内的两相交直线，因此，平面AB1D1∥平面C1BD.(2)连结A1C，设M、N分别是A1C和平面AB1D1、C1BD的交点．A1C在平面ABCD内的射影AC⊥BD，∴A1C⊥BD.同理A1C⊥BC1.∴A1C⊥平面C1BD.于是A1C⊥平面AB1D1.因此MN的长是两平行平面AB1D1和C1BD间的距离．在平面A1ACC1中，∵AA1＝CC1＝a，AC＝A1C1＝∴A1C＝高三总复习数学(大纲版)设平面AB1D1和平面A1ACC1交于AP(P为B1D1的中点)，则M∈AP，又平面BDC1和平面A1ACC1交于C1Q(Q为BD的中点)，N∈C1Q，且AP∥C1Q.由平面几何知识，知M、N为A1C的两个三等分点，高三总复习数学(大纲版)异面直线间的距离问题[例3]如图8，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求异面直线BD与B1C的距离．[分析]求BD与B1C的距离，可以直接找公垂线段；由于在正方体中，也可以建立坐标系，用向量法完成．高三总复习数学(大纲版)[解]解法1：如图9，连结AC交BD于O，取CC1的中点M，连结BM交B1C于E，连结AC1，则OM∥AC1，过E作EF∥OM交OB于F，则EF∥AC1，又斜线AC1在底面ABCD的射影为AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC1，∴EF⊥BD.同理AC1⊥B1C，EF⊥B1C.高三总复习数学(大纲版)∴EF为BD与B1C的公垂线．由于M为CC1的中点，△MEC∽△BEB1，∴MCBB1＝MEBE＝12，BM＝52a，BE＝23MB＝53a，EF∥OM，∴BFBO＝BEBM＝23，故BF＝23OB＝23a，EF＝BE2－BF2＝33a.∴异面直线BD与B1C的距离为33a.高三总复习数学(大纲版)高三总复习数学(大纲版)如图11所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BC1与D1D，BC1与DC间的距离．高三总复习数学(大纲版)解：∵D1C1⊥平面B1C，∴D1C1⊥BC1又因C1D1⊥DD1，故D1C1是异面直线D1D与C1B的公垂线段，因此BC1与D1D间的距离为D1C1＝a.注意到DC⊥平面C1CBB1，过DC的端点C在平面BC1内作CM⊥BC1，垂足为M.高三总复习数学(大纲版)∵CM⊂平面BCC1B1，∴DC⊥CM∴CM是异面直线DC与BC1的公垂线段，∵四边形B1BCC1是正方形，∴点M是BC1的中点，CM＝12BC1＝22a.因此BC1与DC间的距离为22a.高三总复习数学(大纲版)特殊几何体中的二面角与距离问题[例4]如图13，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构造：先在地平面α内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°，再在α的上侧，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正棱锥P－ABD与Q－CBD，∠APB＝90°.高三总复习数学(大纲版)(1)求证：PQ⊥BD；(2)求二面角P－BD－Q的余弦值；(3)求点P到平面QBD的距离．高三总复习数学(大纲版)[解](1)由P－ABD，Q－CBD是相同的正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等的等腰三角形．如图14，取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE.故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ.高三总复习数学(大纲版)(2)由(1)知∠PEQ是二面角P－BD－Q的平面角，作PM⊥平面α，垂足为M，作QN⊥平面α，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正三角形ABD与正三角形BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且四边形PMNQ为矩形，可得ME＝NE＝36，PQ＝MN＝33，∵∠APB＝90°，AB＝1，∴AP＝BP＝22，∴PE＝QE＝12，∴cos∠PEQ＝PE2＋QE2－PQ22PE·QE＝13，即二面角P－BD－Q的余弦值为13.高三总复习数学(大纲版)(3)由(1)知BD⊥平面PEQ.设点P到平面QBD的距离为h，则VP－QBD＝13·S△QBD·h＝112h.又∵VP－QBD＝13·S△PEQ·BD＝124sin∠PEQ＝1241－(13)2＝236，∴112h＝236，∴h＝23，故点P到平面QBD的距离为23.高三总复习数学(大纲版)[拓展提升]特殊几何体中的问题往往能转化或分割为常见的几何体问题，这样就实现了向教材知识的转化．这类题目主要考查对知识的灵活运用能力．解题时一定要注意知识之间的前后联系，提取