《实数》培优材料

七年级数学培优讲义（2）一、实数：（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根；②符号概念：若ax2，那么ax；③逆向理解：若x是a的平方根，那么ax2。（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义；②在算术平方根中，其结果a是非负数，即a≥0；③计算中的性质1：aa2)(（a≥0）；④计算中的性质2：)0()0(2aaaaaa；⑤在立方根中，33aa（符号法则）⑥计算中的性质3：aa33)(；aa33（3）实数的分类：（二分法）负无理数正无理数无理数负无理数零正有理数有理数实数（三分法）负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数（二）【典例分析】1、利用概念解题：例1.已知：18baM是a8的算术数平方根，423babN是b3立方根，求NM的平方根。练习：1.已知234323yxyx，，求xy的算术平方根与立方根。2．若2a＋1的平方根为±3，a－b＋5的平方根为±2，求a+3b的算术平方根。例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1）9)1(2x（2）251513）（x2、利用性质解题：例1已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是；②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为。例2．若y=x3＋3x＋1，求（x＋y）x的值例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。⑴⑵⑶⑷例4．已知321x与323y互为相反数，求yx21的值.练习：1.若一个正数a的两个平方根分别为x1和x3，求a2005的值。2.若（x－3）2＋1y=0，求x＋y的平方根；3.已知,22421xxy求yx的值.4.当x满足下列条件时，求x的范围。①2)2(x=x－2②x3=3x③x=x5.若3387a，则a的值是3、利用取值范围解题：例1.已知有理数a满足aaa20052004，求a20042的值。3、利用估算比较大小、计算：估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例1．比较83-13与71的大小说明：比较大小的常用方法还有：①差值比较法：如：比较1－2与1－3的大小。解∵（1－2）－（1－3）=3－2＞0，∴1－2＞1－3。②商值比较法（适用于两个正数）如：比较51-3与51的大小。解：∵51-3÷51=3-1＜1∴51-3＜51③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a，b，先分别求出a与b的倒数，再根据当a1＞b1时，a＜b。来比较a与b的大小。（以后介绍）④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。如：当0x1时，2x，x，x1的大小顺序是____________。解：（特殊值法）取x=21，则：2x=41，x1=2。∵41＜21＜2，∴2x＜x＜x1。例2．若53的小数部分是a，5-3的小数部分是b，求a+b的值。例3.计算：①6(61-6)②1-2-2-32-3练习：1.估计10＋1的值是（）（A）在2和3之间（B）在3和4之间（C）在4和5之间（D）在5和6之间2．比较大小：①21-51；②3212.1（填“”、“”）4、利用数形结合解题：例1实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+2)(ab的结果是（）A、2bB、2aC、－2aD、－2b例2如图，数轴上表示1、2的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A、2－1B、1－2C、2－2D、2－2（三）【常见错误诊断】1、混淆平方根和算术平方根：①由-3是9的平方根得：9=-3。②由81的平方根是±9得81=±9③5-是5的平方根的相反数2、混淆文字表示和符号表示：①16的算术平方根是4；②64的立方根是43、概念理解不透彻：（1）平方根、算术平方根的概念不清：①6是6的平方根；②6的平方根是6；③6与6互为相反数；④a的算术平方根是a（2）无理数的概念不清：①开方开不尽的数是无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；填空：在-1.414，2，π，3.41，2+3，3.212212221…，722，23，0.303003.这些数中，无理数的个数有个；4、计算错误：①2)13(=13；②1251144251③2095141251161④若x2=16，则x=16=4.5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）①若代数式21xx有意义，则x的取值范围是21xx且②若代数式21xx有意义，则x的取值范围是2x6、公式用错：①66-2）（；②2-14.3）（=3.14-π；②若c满足)3(32cc）（，则c=-3（四）【巩固练习】1．的平方根（　　）364.8.AB.8C.2D.2a0b012CAB2．如果25.0y，那么y的值是（）A.0.0625B.—0.5C.0.5D.±0.53．下列说法中正确的是（）A.81的平方根是±3B.1的立方根是±1C.1=±1D.5-是5的平方根的相反数4．若2aa，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A．原点左侧B．原点右侧C．原点或原点左侧D．原点或原点右侧5．若a=3.136，则100a=（）A、0.03136B、0.3136C、±0.03136D、±0.31366．数a、b在数轴上的位置如图，那么化简2aab的结果是（）A．ba2B．bC．bD．ba27．下列说法正确的是（）A.0.25是0.5的一个平方根B.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C.72的平方根是7D.负数有一个平方根8．若aa2)3(-3，则a的取值范围是().A.a＞3B.a≥3C.a＜3D.a≤39．若a、b为实数，且满足│a－2│+2b=0，则b－a的值为（）A．2B．0C．－2D．以上都不对10.在227，3.1415926，7，32，36，0.1这6个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是。12．若215b和31a都是5的立方根，则334ba=.13．观察下列各式：11111112,23,34334455，……，根据你发现的规律，若式子118abb（a、b为正整数）符合以上规律，则ab＝.14．由下列等式：33722722，3326332633，3363446344……所揭示的规律，可得出一般的结论是（用字母n表示，n是正整数且n1）。15．比较下列实数的大小：①14012②2150.5；16．一个正方形的面积变为原来的m倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的倍。0ba17．计算：①4232741()|25|643②62213618．已知一个2a-1的立方根是3，3a+b+5的平方根是±7，c是13的整数部分，求22cba的平方根。19．已知a、b满足0382ba，解关于x的方程122abxa20．若5a，72b，abba，求a+b的值21.设2+6的整数部分和小数部分分别是x、y，求（x-1）2+(6y+8)2的平方根。22．已知点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且a、b满足52221aab，点C是数轴上不同于A、B的一动点，其对应的数为c。（1）若C运动到使AB=BC时，求点C所对应的数；（2）若c满足)3(32cc）（，试化简：33222)()(ccbcac（3）当C运动某一位置时，实数c满足ccc5-3，试求线段BC的长.BA0