求曲线的方程

1曲线与方程及求方程的曲线2曲线与方程的关系一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。新课3（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏由曲线与方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x，y)=0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)=0.纯粹性完备性说明4例1判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1对错错认识概念变式训练：写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500xxxx5条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)=0的曲线”，则甲是乙的()(A)充分非必要条件(B)必要条件(C)充要条件(D)非充分也非必要条件B若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x，y)=0”是正确的，则下列命题中正确的是()(A)方程f(x，y)=0所表示的曲线是C(B)坐标满足f(x，y)=0的点都在曲线C上(C)方程f(x，y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C(D)曲线C是方程f(x，y)=0的曲线的一部分或是全部D7问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程?运用现成的结论──直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=12又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法一:法二:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法:轨迹法8问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|需要尝试、摸索先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy(Ⅰ)化简⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程270xy的解;证明⑵设点1M的坐标11(,)xy是方程(Ⅰ)的解,即11270xy∵上面变形过程步步可逆,∴22221111(1)(1)(3)(7)xyxy11MAMB综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.11方法小结9直接法（轨迹法）求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)坐标化:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.（查漏除杂）注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)10.B例2、动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。..AM解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则)1(a)(xa2yx:化简，得.21axyaxy,21kka)(x,axyk,axyk222MBMAMBMA由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（1）就是动点M的轨迹方程。11（2）要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。（3）根据具体条件，有时要注明变量X与Y的变化范围。小结：求曲线的方程要注意以下几点：（1）当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。12课堂练习:练习1.已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y)建立坐标系设点的坐标∵点M与x轴的距离为y,22(4)FMxy∴y=22(4)xy限(找几何条件)代(把条件坐标化)∴222816yxyy∴2816xy化简这就是所求的轨迹方程.132225xy22(3)48xy定义法直接法14思考:(37P练习第3题)如图,已知点C的坐标是(2,2),过点C直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.活用几何性质来找关系xy0CBAM思维漂亮!(,)xy15直接法（轨迹法）求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.（查漏除杂）注：求哪个点的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)16（2）要仔细分析曲线上动点所满足的几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐标所适合的方程。（3）根据具体条件，有时要注明变量X与Y的变化范围。小结：求曲线的方程要注意以下几点：（1）当题中没给定坐标系时，我们就要适当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直线，就可以选其做坐标轴。17适用范围:任何情况求轨迹方程的方法:(1)直接法（轨迹法）;(2)定义法;适用范围:所给的几何条件中恰好已知曲线的定义，且可以直接用这些曲线的定义写出这些曲线的方程。如:求到点(1,1)的距离等于到直线x+y=1的距离的点的轨迹方程.我们虽然知道它的轨迹是抛物线,但是不知道它的方程的形式,仍然只能用直译法求.181.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B,点M满足,求点M的轨迹方程.例3xyA(6,0)OBM12AMMB特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0),然后代入已知曲线方程即的从动点轨迹方程.代入法(坐标转移法):19解：20【名师点评】代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上任意点M(x，y)，设动点(已知轨迹上的动点)P(x0，y0)．(2)求关系式：求出两个动点的关系式x0＝fx，y，y0＝gx，y.(3)代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．21作业：动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．