第四章 平均指标和标志变异指标

本章要点1、平均指标几种计算方法2、平均增长速度计算3、标志变异指标一、平均指标的概念平均指标又称统计平均数，是反映同质总体内各单位在某一数量标志值上一般水平的综合指标。它是统计分析中最常用的指标之一。第二节算术平均数ArithmeticMean一、基本计算公式Basicformulaofarithmeticmean总体单位总量总体标志总量算术平均数平均数与强度相对数的区别1、人均书籍20本2、人均耕地2亩人均课本20本人均馆藏图书20本某村人均耕地2亩某地区人均耕地2亩强度相对数平均数二、简单算术平均数simplearithmeticmean将各单位的标志值xi直接相加得出标志总量，再除以总体单位数n，就得到简单算术平均数。用公式表示为式中：X—算术平均数；X1，X2，…，Xn—总体各单位标志值；n—总体单位数；∑—总和符号。nXXXXn21nXnii1nXExampleAsampleoffiveexecutivesreceivedthefollowingbonuslastyear($000):14.0,15.0,17.0,16.0,15.04155775015014......nXXΣ的性质1、iiXCCX2、iiiiYXYX3、nCCni1niiYX1)(？nYXiiiYXiiYX？三、加权算术平均数WeightedArithmeticMean当掌握的资料是经过加工整理的变量数列，并且各组的单位数不相等时，就需要以各组的单位数为权数，采用加权的办法计算平均指标。这样计算的平均指标称为加权算术平均数。总体标志值为y1、y2、…、yk，将相同的标志值分为一组，共分n组。第一组有f1个，标志值为X1，…，第n组有fn个，标志值为Xn。nnnffffXfXfX212211kYkYYYXkjjk121niiniiiffX11fXf算术平均数公式加权算术平均数公式例：抽样调查某地200个3口之家的居民户，得其生活费用支出资料如下表：月生活费支出(元)组中值Xi户数(户)fiXifi400以下267800400-6003517500600-8005941300800-120040400001200-180026390001800以上1429400合计—200175000要求：计算居民户月平均生活支出。300210050070010001500??解：取组中值作Xi，户数作权数fi,中间计算过程见上表。则居民户月平均生活支出为：元户数生活费用总额875200175000fXfX公式的变形iiiiiiffXffXXffXffXffXnn2211则有令iiffiinnXXXXX2211某车间生产三批产品的废品率分别是2%、1%、4%，三批产量占全部产量的比重分别是45%、30%、25%，试求该车间三批产品的平均废品率。解：平均废品率%.%%%%%%22254301452某小贩以2元/千克的价格购进100千克苹果，以3元/千克的价格卖出60千克，以2.6元/千克的价格卖出40千克，剩余的20千克以购进价卖出，平均名义卖价是多少？实际平均每千克赚了多少？解：1、平均名义价格千克元名义销售量销售额/..7212032420406020240626032、实际价差千克元进价实际销售量销售额进价实际售价/.2412100324第三节调和平均数HarmonicAverage一、调和平均数的概念和计算调和平均数又称“倒数平均数”，它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。通常用H表示。根据同一资料计算出的算术平均数和调和平均数是不相同的。事实上，变量值的调和平均数本身无实际意义，但在社会经济统计中，有时由于资料的原因不能直接计算出算术平均数，而采用调和平均数的形式。因此，可以把调和平均数看作是算术平均数的变形。(一)简单调和平均数简单调和平均数的计算公式是：XnXXXnHn111121式中：(X—变量值；n—总体单位总量。)由算术平均数的公式令Xifi＝Mi则有fi=Mi/Xi于是上式变为nnnffffXfXfXX212211niiniiiffX11niiiniinnnXMMXMXMXMMMMX11221121(二)加权调和平均数例2已知甲、乙、丙三个企业的有关资料如表4-5，要求计算这三个企业的平均计划完成程度。表4-5三个企业实际计划完成情况表企业计划完成(%)实际完成数(万元)甲9595乙102153丙108410.4合计—658.4解：由计划完成相对数的计算公式和已知条件，有：平均计划完成程度%.%.%.%%.51104100630465810844101021539595441015395计划任务数实际完成数从以上例可以看出，计算平均数时，要依据客观存在的经济关系式和已知条件作具体分析，而不能简单地套用公式，否则容易出现错误。某银行营业部只有两笔大额贷款,一笔为200万元,年利率10%,另一笔为1000万元，年利率13%,求该营业部大额贷款的平均年利率。年利率=（10%＋13%）÷2＝11.5%错啦！%.%%512100020013100010200年利率对啦！分析单位：万元贷款总额年利率利息平均利率利息平均利率利息20010%2011.5%2312.5%25100013%13011.5%11512.5%125利息合计150错误138正确150某人购房欲贷款12万元，根据其资信水平，贷款10万元的年利率是8%，若增加2万元，则这12万元贷款的年利率变为10%，求增加的2万元贷款的年利率。%%102102810i平均年利率%%%2028101012i解：第四节几何平均数GeometricMean几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。通常用G表示。几何平均数适合于计算现象比率或速度的平均值，并且还要求现象在各阶段上的比率或速度之积等于总比率或总速度。不满足上述条件计算得到的几何平均值无实际意义。几何平均数根据资料情况，可分为简单几何平均数和加权几何平均数两种。前者适用于未分组资料，后者适用于分组后的变量数列。一、简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。nnnXXXXXG321式中：(Xi—数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)n—变量值个数∏—连乘符号)例如，生产某产品需连续经过4道工序，根据经验，各道工序的合格率分别为98%、95%、92%、90%，求该产品4道工序的平均合格率441iiX平均合格率%..%%%%79377086809092959844二、加权几何平均数当各个变量值的次数(权数)不相同时，应采用加权几何平均数。ffffffnffXXXXGnn212121式中，fi为变量值Xi出现的次数，又称权数。投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，10年的年利率分配是：第1年至第2年为5%；第3年至第5年为8%；第6年至第8年为10%；第9年至第10年为12%，则平均年利率是多少?%.%.....77438177431081121110810511102332平均本利率问题：如果不按复利计算，平均年利率是多少？平均年利率解：设本金为C，则平均年利率%.%%%%%%%%8823321221038352101221038352CCCCC本金平均利息三、平均发展速度设各个时期的发展水平为a0，a1，a2，a3，…，annnnaaaaaa11201nn21平均发展速度平均发展速度的计算公式为或者四、平均增长速度1、已知发展速度υi111121nn121nn平均增长速度nn1111212、已知增长速度θi（2）已知废品率、淘汰率θi（1）已知利率、经济增长率θi有32支球队参加比赛，经5轮决出冠军，求每一轮的平均淘汰率。%50321115平均晋级率平均淘汰率解：n=5a0=32an=1几何平均数较之算术平均数，应用范围较窄，它有如下特点：①如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算G②G受极端值影响较X和H小；③它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的连乘积的情形。对于这类社会经济现象，不能采用算术平均数反映其一般水平，而需采用几何平均数。算术平均数、调和平均数和几何平均数三者间存在如下数量关系：H≤G≤X并且只有当所有变量值都相等时，这三种平均数才相等标志变异指标第六节一、标志变异指标的概念和作(一)标志变异指标的概念标志变异指标也称标志变动度，是反映总体各单位标志值之间差异程度的综合指标。平均指标表明数值的集中趋势(MEASURESOFCENTRALTENDENCY)标志变异指标反映数值的离中趋势(MEASURESOFDISPERSION)(二)标志变异指标的作用1.标志变异指标是评价平均数代表性的依据。2.标志变异指标可用来反映社会经济活动过程的均衡性和稳定性。标志变异指标值小，说明社会经济活动过程的均衡性和稳定性好，反之则差。3.标志变异指标度量风险。二、标志变异指标的种类和计算据计算方法不同可将标志变异指标分为不同类型。有一类是将总体标志值按顺序排列之后取特定位置的标志值，求其离差，以表明次数分布的变化范围，如全距指标，四分位差指标等。另一类是求各标志值对平均数的平均离差来反映标志值相对于平均数的离差程度，如平均差、标准差(又称均方差)或方差等。用上述标志变异指标还可以计算各种变异系数或离散系数，以表示标志值离差的相对水平。此外还有描述标志值分布状态的指标如偏度系数指标和峰度系数指标，它们说明实际统计分布偏离正态分布的程度。MeasuresofDispersionRange(全距)Quartiles(四分位数)Meandeviation(平均差)Standarddeviation(标准差)Variance(方差)Coefficientofvariation(离散系数)Coefficientofskewness(偏态系数)Coefficientofkurtosis(峰度系数)(一)全距(Range)全距又称极差，是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，常记为R。它表示标志值的变化范围。全距(R)=最大标志值－最小标志值一般而言，全距的值愈小，则变量值愈集中，表明标志值的变异程度小，反之则愈大。但由于全距只决定于两个极端值而与其它中间值没有关系，因此不能准确反映全部标志值的变化状况，由此据全距得出的结论有时不够准确，尤其是两个极端值与其它值偏离较大时，用全距说明各标志值的变异程度则更不准确。*四分位差InterquartileRange把一个变量数列分成四等份，形成三个分割点Q1、Q2、Q3，这三个分割点的数值就称为四分位数，Q2也是中位数，四分位差为Q.D.Q.D.=Q3－Q1LocationofapercentileQuartilesandPercentile1001pnLpQ3------L75Q2------L50Q1------L25Q2=MeEXAMPLE4647484951535454555859602532511225.%L7597511275.%L25.4825.04849481Q25