第四章 平面一般力系

第四章平面一般力系PlanarForceSystems§4-1平面一般力系（平面任意力系）平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系平面力系（力的作用线在同一平面内）平面汇交力系平面平行力系平面力偶系平面一般力系前三种都是平面一般力系的“特殊”情况力线平移定理：F[证]）F，F（F偶力力F力F,F,F力系但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力F作用在刚体上点A的力，可以平行移到刚体上任一点B，对新作用点B的矩。'MM§4-2力线平移定理①力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d②力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶③力线平移定理的逆定理成立。力力+力偶力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力偶系进行研究。说明：§4-2平面任意力系向一点简化M1M2M3一、力系向一点简化向一点简化：任选一点O，将力系中各力向O点平移简化中心：O点（任选）8平面任意力系（未知力系）平面力偶系（已知力系）平面汇交力系：（已知力系）力（主矢量）：力偶（主矩）：FR=FMo=M向任一点O简化(作用在简化中心)(作用在该平面上)FRM1M2M3二、主矢量力系平移到O点，得一个汇交力系，其合力称为原力系的“主矢量）iiFF（因为只是平移，力的大小，方向没有改变）RFiRFFFF...21主矢量等于汇交力系的矢量和iFFFFF321R':主矢主矢量等于原力系中个力的矢量和10'RF2222)()('''yxRyRxRFFFFFxyRxRyFFFF11tantan大小：方向：简化中心(与简化中心位置选择无关)[因主矢等于各力的矢量和]已知原力系中各力,求主矢作用点：321MMMMO)()()(M21iOOOFMFMFM主矩：附加力偶合成的合力偶矩因为附加力偶等于原力对于简化中心的力矩：)(iOiFMM所以：与简化中心的选择有关12固定端（插入端）约束雨搭车刀固定端约束限制了物体的移动和转动。因而完全被固定FRA固定端（插入端）约束的约束反力：①认为Fi这群力在同一平面内;FAxFAy⑤FAx,FAy限制物体平动,MA为限制转动。④FAx,FAy,MA为固定端约束反力;③FRA方向不定可用正交分力FAx,FAy表示;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;14§4-4.简化结果分析合力矩定理简化结果：主矢，主矩MO，下面分别讨论。'RF①=0，MO=0，则力系平衡,下节专门讨论。'RF②=0,MO≠0，即简化结果为一合力偶,M=MO此时刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）'RF③≠0,MO=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）'RRFF'RFR④≠0,MO≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简化为一个合力。R合力作用线到简化中心的距离为:将力偶变化为两个力的形式，使：dRMO),(RRRRR去掉平衡力系),(RRRMdO相当于一个合力作用与OR平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和合力矩定理合力对作用面内任一点之矩dRRMO)(dRMRMOO)(显然合力对于O点之矩，等于主矩而主矩等于力系中各力对于O之矩的代数和)()(iOOOFMMRMkNFFxRx732.230cos210kNFFyRy230sin201kNFFFyxR4.3)2(73.2)()(2222主矢量大小：作用点：O点方向：732.073.22tanxyFF2.36由投影正负，主矢量在四象限主矩：kNmFMFFFMMi2230sin31)(3310024.3dmkNkNmFMdR59.04.320例、三角形分布载荷.计算其合力作用线的位置关于载荷（主动力）分类集中力：当载荷分布面积较小，近似认为载荷作用与一个“点”，这种力称为“集中力”单位是：N，kN分布力：当载荷分布面积较大，而不能简化为集中力，就称分布力分布力又分为“面分布力”和“线分布力”面分布力：分布在一定面积上，又有均匀和不均匀分布单位：aPmN,2线分布力：载荷分布在窄长面积上，将其简化认为分布在一条直线上。mN单位：又有均匀和不均匀分布qldxlxqdxxqQll21)(00lxqxq)(荷载：合力：由合力矩定理：202031])([21qldxlxqxdxxqqlxxQllee合力矩分力矩之和lxe32§4-5平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系平衡条件R’=0;M0=0.2222)()('''yxRyRxRFFFFF)(iOOFMM平面一般力系平衡方程.0)(,0,0FomYX平面一般力系有三个“独立”的平衡方程，可求三个未知量(4-6)一、平衡条件与平衡方程.0)(,0,0FomYX1、平面一般力系平衡必要充分2、平衡方程的意思是：刚体平衡刚体上的全部力在x轴上的投影代数和等于0刚体上的全部力在y轴上的投影代数和等于0刚体上的全部力对任意点的力矩代数和等于0.0)(,0,0FomYX3、左边平衡方程是从平衡条件直接推出的，是平衡方程的基本形式。称为“一矩式”二、说明.0)(,0)(,00FFBAmmYX）（或4、二力矩方程其中A,B两点的连线不能与Ox轴(或Oy轴)垂直,(4-7)5、三力矩方程.0)(,0)(,0)(FFFCBAmmm(4-8)其中A,B,C三点不在同一直线上“独立”的平衡方程只有三个4、列平衡方程例4-3求图示位置悬臂吊车拉杆的拉力和铰链A的约束反力。kNQkNPmamlAB5.7,2.130,2,5.2解：1、选研究对象选AB：因为所求的力均在AB杆上2、画受力图：对AB受力分析，画出受力图3、建立坐标系0sin.00sin,00cos,02QaPlTmTQPYYTXXlAAA.30sin2.135.72.1sinkN,43.11232.13coskN,2.13)25.725.12.1(30sin5.21)21(sin1TQPYTXQaPlTAA5、解方程求图示位置悬臂吊车拉杆的拉力和铰链A的约束反力。kNQkNPmamlAB5.7,2.130,2,5.20)(FMA0sin2lTaQlP此题也可采用三力矩方程：0)(FMB030tan2lXaQlPA0)(FMC0)(2lYalQlPA0,0AXX由()0;202ABMFaRaqamPa0Y0PqaRYBA)kN(122028.01628.02022PamqaRB)kN(24128.02020BARqaPY[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m求：A、B的支反力。解：受力图如图所示§4-6平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。F1F2Fnx1x2xnoyMoFR'xRFR若建立图示坐标系，无论平衡与否，他们在x轴上投影的代数和必定为零0X平面平行力系的平衡方程为：0)(iAFM0)(iBFM二矩式条件：AB连线不能平行于力的作用线0yF0)(iOFM一矩式F1F2Fnx1x2xnoyMoF'RxRFR面平行力系只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。[例]已知：塔式起重机，尺寸如图。最大起重量P1，自重P，平衡块重量P2，(1)保证满载和空载时不致翻倒，平衡块重P2=?分析：P2过大，空载时有向左倾翻的趋势。即绕A点翻到P2过小，满载时有向右倾翻的趋势。即绕B点翻到(2)当P1=0.5P1时，求轨道A、B给起重机轮子的反力？①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小P2：0)(FMB0)(12bFlPPebaPA限制条件：0AFbalPPeP1min2②空载时，P1=0,不向左翻倒得最大P20)(FmA0BF0)(2bFbePaPB限制条件：abePP)(max23304)212(2)26(BFWPQ0)(FMA,0yF0BAFFWPQkN870,kN210BAFF⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，FA,FB为多少？解得：由平面平行力系的平衡方程可得：FAFB(2)当P1=0.5P1时，求轨道A、B给起重机轮子的反力？0)(FMB0)(12bFlPPebaPA]21)([112lPPebaPlFA0yF02112PPPFFBA1221PPPFFAB不同力系独立平衡方程的个数平面力系独立方程个数空间力系独立方程个数共线力系F=01F=01力偶系M=01mx=0,my=0,mz=03汇交力系X=0,Y=02X=0,Y=0,Z=03平行力系Y=0,mo=0或mA=0,mB=02Z=0,mx=0,my=03任意力系X=0,Y=0mo=03X=0,Y=0,Z=0mx=0,my=0,mz=0636独立方程数目未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）静定（未知数三个）独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）静不定（未知数四个）静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中用变形协调条件来求解。FAxFAyFByFBxFAxFAyFB§4-7静定与静不定问题37[例]4-8物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。物系平衡问题的特点：①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）。解题思路：（1）依次取系统中的每一个物体列平衡方程，再联立求解（2）先去整体（或其中一部分）平衡，求出一部分未知量。在去其中个别物体平衡。例：已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？④冲头给导轨的侧压力？0xF0sinBNFF0yF0cosBFPABFPFcos解：以B为研究对象（平面汇交力系）：ntaPFN0)(FMO0cosMRFA0xF0sinAoxFF0yF0cosoyAFFPRMPFoytanPFox[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再以轮O为研究对象：（平面一般力系）cosPFFAA其中41例：已知：M=10KNm,q=2KN/m,求：A、C处的反力。0xF01qFFCBy0yF02112qFC解：先以BC为研究对象：KNFC5.0q1mAB1m1m1mCM0)(FMB0BxFKNFBy5.142已知：M=10kNm,q=2kN/m,求：A、C处的反力。0xF01qFFByAy0yF05112AByMMqF.再以AB为研究对象：实际方向与假设相反）(4kNmMAq1mAB1m1m1mCMqCBFBxFByFC0)(FMA0BxAxFFkNFAy5.3已知：M=10kNm,q=2kN/m,求：A、C处的反力。此题也可先取BC