如何利用几何直观帮助学生理解算理

如何利用几何直观帮助学生理解算理、一、缘起几何直观，是利用图形描述和分析问题，是《数学课程标准》中的十大核心概念之一。几何直观不仅在图形与几何中用到，在数与代数、统计与概率、综合与实践中都能用到。遇到一个比较复杂、比较抽象的对象，能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种能力。现代社会需要培养学生具有应用几何直观的能力。数与代数的教学，包括数的认识、数的运算、常见的量、探索规律。在学习每块知识时都可以借助几何直观。在数的运算教学中，较多教师注重算法，强调熟练技能，忽略算理。其实学生计算能力的提高，不仅仅是提高学生计算的熟练程度，更重要的是让学生理解算理，将计算的方法融会贯通于数学的其他方面，提高学生的数学素养。算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。在加、减、乘、除四则运算教学时教师不妨将几何直观落实到位，发挥几何直观对理解算理的作用。二、小学阶段四则运算整理学段年级册数内容第一学段一年级一上1-5的认识和加减法6-10的认识和加减法20以内进位加法一下20以内退位减法100以内的加法和减法二年级二上100以内的加法和减法表内乘法（一）表内乘法（二）二下表内除法（一）表内除法（二）万以内的加法和减法（一）三年级三上万以内的加法和减法（二）有余数的除法多位数乘一位数分数的简单计算三下除数是一位数的除法两位数乘两位数简单的小数加减法第二学段四年级四上三位数乘两位数除数是两位数的除法四下四则运算运算定律与简便计算小数的加减法五年级五上小数乘法小数除法五下分数的加法和减法六年级六上分数乘法分数除法六下三、案例分析在计算教学中要重视算理。理解运算的意义往往要经历四个阶段：情境感知、动作表征、语言表征、符号表征。在中小学数学教学中几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。教学时，学生的年龄特点和教学内容，通过直观感知，重视数形结合等方法，培养几何直观的能力。（一）实物直观演示实物直观演示指借助与研究对象有一定联系的现实世界中的实际存在物，进行简捷、形象的思考和判断。实物直观演示可以是实际存在物，也可以借助小棒等辅助的实物直观演示。低年级学生，尤其是一年级学生以具体形象思维为主要形式，较多采用动作表征，教学时常用实物直观演示来感知从而理解算理。人教版一年级上册《20以内进位加法》，学生用小棒、圆片等实物操作来感知“凑十”的过程和方法，进而理解“凑十”的算理。如《9加几》的教学9+4，出示格子图（空白）。○○○○学生同桌合作在格子里面摆9个圆片，外面放4个圆片。学生通过观察，动手“拿”，从外面拿1个放进格子里，这样格子里就“凑”成10个圆片，外面还有3个，“合”起来就是13个圆片。在“拿”的基础上提升，把4分成1和3,1和9凑成10,10加3是13。最后学生用语言来描述“拿、凑、合”的过程。此时，学生能很好的理解“凑十”的含义，从而掌握“凑十法”。学了9+4，举一反三，9、8、7、6、5、4、3、2加几都会学了。20以内退位减法，“破十法”、“连减法”也是如此。13-9，○○○，“破十法”，学生从盒子里拿出9个，还剩1个，和外面3个合起来是4个。“连减法”，从外面拿走3个，不够，再从格子里拿走6个，还剩4个。“破十法”用实物直观演示突出“拿、合”的过程，“连减法”用实物直观演示突出连拿两次的过程。实物直观演示，尤其是学生借助格子图经历操作演示，把复杂的凑十、破十、连减变得直观、简单。（二）简约符号直观8—12岁儿童知觉和观察发展趋势是从无意性、情绪性、不精确性向有意性、目的性、精确性和有组织性方向发展，想象趋于完善，有意想象的成分大为增加，具有直观性和具体性。基于这样的特点，在小学三、四年级理解算理时，可发挥简约符号直观的价值。○○○○○○○○○○○○○○○○○○○人教版三年级下册第一单元《除数是一位数的除法》，它是在表内乘除法、一位数乘多位数的基础上进行教学，整数除法又是小数除法的依据，除数是一位数的除法是笔算除法的奠基石，是教学的重头戏。《除数是一位数的除法.》，口算方法学生熟练，笔算大多数学生不会，新知识点多，如商的定位、两次试商、竖式的书写、对算理的理解等。利用简约符号直观，以探究计算顺序和竖式的书写为线索，以理解算理为核心。教学可分四步：1．动手操作。42÷2,52÷2，分别把42根、52根小棒平均分成两份，学生根据已有知识经验分一分。42根分法相同，52根分法各异，有直接每份26根，也有每份是2捆、5根、1根组成，还有每份有2捆和6根组成。2.比较优化。在反馈时，教师设计这些问题：（1）52根小棒的3种分法有什么异同？后面两种分法一样吗？你欣赏哪种？（2）为什么拿出4捆来分？而不是5捆、3捆、2捆、1捆呢？（3）与42根分法比较，又有什么异同？教师问题中的“为什么”，不断引领学生思维碰撞。拿出4捆分，每份2捆，学生理解试商的雏形，剩下1捆和2根合起来分，学生容易理解。在这一环节，充分展示操作的过程，将操作优化。此时，学生理解了算理，掌握了计算顺序，竖式书写也水到渠成。3．建构简约符号直观。直观操作是一种手段和途径，物化助理解是目的。到了一定程度，要走出直观，建立图式表象，即简约符号直观，在脑中操作，完善理解。试一试，60÷4脑中分一分，并竖式计算。反馈时教师追问：（1）商1怎么得到的？为什么写在十位上？（2）6下面的4表示什么？（3）4后面的0为什么可以不写，而2后面的0要写呢？此时，脑中操作与算理的理解、计算的顺序、竖式的商积余数结合，帮助学生建构简约符号直观，实现从具体形象向图像过渡。4．抽象概括。直观感知、简约符号直观、提炼方法、抽象概括，这是理解数学知识的一般过程。适当练习后，不断同化、顺应，形成一定的运算模式后用数学语言来概括一般方法。操作是一个动态过程，教师用智慧将具体操作过程展开，并建构简约符号直观，形成丰富表象，深化理解并掌握知识，学会学习。（三）图形直观表示图形直观表示指借助明确的几何图形来描述和分析数学问题。图形直观表示有“形形表示”和“数形表示”。在理解算理时，常采用“数形表示”，在三—六年级应用较多。三—六年级学生，对具体形象的依赖性会越来越小，创造想象开始发展起来。在小学阶段，分数四则运算的意义和算理比较抽象，学生理解困难较大，用图形直观表示使抽象的问题直观化。人教版三年级上册《分数的简单计算》，新课用图形直观表示理解算理，突出教学重点，练习中用图形直观表示理解“1”和一半，突破难点。1．重点处用图形直观表示。如3/8+4/8=7/8，怎样验证？分四步走，（1）学生独立探究。(2)集体反馈，有折纸、画画涂涂、想分数单位（3个1/8+4个1/8=7个1/8）。（3）这三种方法都可以用几何直观表示作为支撑。课件出示规范的图示。学生清晰的看到左边有4个1/8，右边3个1/8，合起来是7个1/8，即7/8。减法也类似。2.难点处用图形直观表示。本节课中，对一半、1的理解是难点，用几何直观表示，化难为易。1/4+1/4=2/4，,3/4-1/4=2/4，2/4还可以用哪个分数表示？为什么？学生用语言描述后再配合图，2/4就是1/2就一目了然。又如，1/2+1/2=2/2,1-1/3=2/3，1-7/9=2/9，这里的1到底是多少？再次采用几何直观，1就代表一个整体，根据不同情况，平均分的份数不同而已。整节课中，三次出现几何直观，学生将直观转化为想象，一般到特殊，举一反三。简单分数算理理解，对后续分数加减法、分数的基本性质等学习做好孕伏。随着年级升高，学生的知识经验和生活经验不断丰富，在计算教学理解算理时，更多的是语言表征和符号表征。人教版六年级上册《分数乘法》整个单元，结合不同的教学内容，可以不同层次的采用图形直观表示，渗透“数形结合”。几何直观，既是一个过程又是一个结果，具有动态性、模型性。教学中应用几何直观，引领学生从直观走向抽象，帮助学生建立数学模型，培养学生几何直观能力。