2.2.2等差数列的概念与通项公式(2)

等差数列的概念与通项公式2•教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.•教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.•教具准备•三维目标••1.明确等差中项的概念;•2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;•3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.••1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;•2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;•3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.••1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;•2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.等差数列定义：)2(1ndaann等差数列的通项公式：dnaan)1(1dmnaamn)(复习回顾：等差数列通项公式的一个变式梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度成的等差数列，a1=33，a12=110，n=12.由已知条件有由通项公式，得a12=a1+(12-1)d即110=33+11d,解得d=7.因此,a2=33+7a3=40+7a4=54a5=61a6=68a7=75a8=82a9=89a10=96a11=103.答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.例1：已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,例2：首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可得:A-a=b-A,即2baA反之,若2baA则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.总之:bAabaA,,2成等差数列.也就是说:2baA是a,A,b成等差数列的充要条件.思考：在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,2513273529572131211329572912735351422aaaaa47162532aaaaaaa等差数列的性质1：即：求下列各题中两个数的等差中项。（1）、100与180（2）、－2与6练习：解:（1）100与180的等差中项是140（2）-2与6的等差中项为21adnmadnadmaaanm)2(2)1()1(111qpnmqpnmaaaadnaNqpnm,,,qpnmqpnmaaaa在等差数列中，为公差，若且求证：证明：设首项为，则∵∴例3：dqpadqadpaaaqp)2(2)1()1(111naNqpnm,,,qpnmqpnmaaaa在等差数列中，若则等差数列性质2：例4：（1）已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴（2）已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值1523021539aaa∵7+11=3+15（2）∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5练习：（1）在等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，求a12=（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=2215已知等差数列{an}中，a3＋a5=－14,2a2＋a6=－15，求a8例5：解：∵3+5=2+6，则2a2＋a6=a2＋a3＋a5=a2－14=－15故a2=－15+14=－1∴a6=－15－2a2=－15－2×（－1）=-13721312624aaa故a8=2a6－a4=2×（-13）－（-7）=-19∴a3＋a5=a2＋a6例6已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.小结：（1）由通项公式如何判定它是等差数列。（2）等差数列性质1（3）等差数列性质2作业：课本：P.39:6,8,9,10,11.•本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题.•在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.•通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.