2.2.3 独立重复试验与二项分布

独立重复试验与二项分布前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.⑴()()()PABPAPB（当AB与互斥时）；⑵()(|)()(0())PABPBAPPAA⑶()()()PABPAPB（当AB与相互独立时）那么求概率还有什么模型呢？复习回顾分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一个质地均匀骰子投掷20次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）;⑷一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;⑸生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.共同特点是:多次重复地做同一个试验.n次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”12()nPAAA=“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响。12()()()nPAPAPA解:记事件“第i次击中目标”为iA,则123AAA、、相互独立.且123()()()0.8PAPAPA.问题：某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，现连续射击3次.⑴第一次命中，后面两次不中的概率；⑵恰有一次命中的概率;⑶恰有两次命中的概率.⑴第一次命中，后面两次不中的事件即123AAA∴123123()()1()1()PAAAPAPAPA=0.032⑵恰有一次命中的事件即123AAA+123AAA+123AAA∴恰有一次命中的事件的概率230.80.20.20.096P⑶恰有两次命中的事件即123AAA+123AAA+123AAA∴恰有两次命中的事件的概率330.80.80.20.384P问题1的推广:一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，那么事件A恰好发生k次的概率(X=)nPk是多少呢?(X=)(1)kknknnPkCpp或(X=)kknknnPkCpq（其中1qp,一次试验中事件A发生的概率为p）．注:()()kknknnnPkcpqpq是展开式中的第1k项.此时称随机变量X服从二项分布（binomialdistribution）,记作X~B(n,p)，并称p为成功概率.二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p2．一个袋中放有M个红球，(NM)个白球，依次从袋中取n个球，记下红球的个数.⑴如果是不放回地取,则服从超几何分布.()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPkkmC(其中min(,)mMn⑵如果是有放回地取，则(,)MBnN例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到3次红灯的.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解:记ξ为学生在途中遇到红灯次数，则(1)遇到3次红灯的概率为：33251240(3)()()33243PC(2)至少遇到一次红灯的概率为:1~(5,)3B522111101().3243PP解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负奎屯王新敞新疆∴甲打完5局才能取胜的概率222141113()()22216PC.例2实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．⑵按比赛规则甲获胜的概率．(2)记事件A“甲打完3局才能取胜”，事件B=“甲打完4局才能取胜”，事件C=“甲打完5局才能取胜”．事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故()()()()()PDPABCPAPBPC1331816162．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．练习巩固：1．每次试验的成功率为(01)pp，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（）(A)33710(1)Cpp(B)33310(1)Cpp(C)37(1)pp(D)73(1)pp2．某人参加一次考试，若5道题答对4道题则为及格，已知他解1道题的正确率为0.6，试求他能及格的概率(保留2位小数)。3.某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？（lg20.3010,lg30.4771）3答案C4455550.60.40.60.34CC3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？（lg20.3010,lg30.4771）解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n次奎屯王新敞新疆记事件A＝“射击一次，击中目标”，则()0.25PA．∵射击n次相当于n次独立重复试验，∴事件A至少发生1次的概率为1(0)10.75nnPP．由题意，令10.750.75n≥，∴31()44n≤，∴1lg44.823lg4n≥，∴n至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次奎屯王新敞新疆思考.,1,,,,次打开门的概率求该人在第的概率被选中即每次以开门他随机地选取一把钥匙打开这个门其中仅有一把能把钥匙他共有一个人开门knn则次打开门表示第令,kBk,,)()(211111knnBPkk解注:事件首次发生所需要的试验次数ξ服从几何分布ξ123…k…Pppqpq2…pqk-1…几何分布思考2解:练习:某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列.解：的所有取值为：1、2、3、4、5”5“表示前四次都没射中(1)0.9P(2)0.10.9P2(3)0.10.9P3(4)0.10.9P4(5)0.1PP432150.90.10.920.10.930.10.940.1故所求分布列为:小结独立重复试验()(1),0,1,2,,kknknPkCppkn一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.二项分布~(,)Bnp课外思考:巴拿赫(Banach)火柴盒问题•波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数k的分布列。221,0,1,2,,2nknnkPCkn作业:课本68PB组第2、3题则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.若n次重复试验具有下列特点：2.n重贝努利(Bernoulli)试验1)每次试验的可能结果只有两个A或,ApAPpAP1)(,)(且2)各次试验的结果相互独立，(在各次试验中p是常数，保持不变）选做作业:一批玉米种子，其发芽率是0.8.⑴问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？⑵若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg20.3010）作业：第68页B组第1题解：记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8PA，()10.80.2PA，（1）设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2nnnnPBPC．∴()1()10.2nPBPB．由题意，令()98%PB，所以0.20.02n，两边取常用对数得，lg0.2lg0.02n．即(lg21)lg22n，∴lg221.69902.43lg210.6990n，且nN，所以取3n．答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384PC，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384奎屯王新敞新疆练习4:一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，试求的概率.992910211111235335()()()888CPC