2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件(人教版必修4)

•2．2.3向量数乘运算及其几何意义•1．通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定．(重点)•2．理解两向量共线的含义．(重点)•3．掌握向量数乘运算法则并会进行有关运算．(难点)•一、向量数乘运算•实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作_____，它的长度与方向规定如下：•(1)|λa|＝________.•(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向；•当λ＜0时，λa的方向与a的方向．•(3)当λ＝0时，λa＝_____.向量数乘相同相反λa0|λ||a|•你能说出3a的几何意义吗？•提示：向量3a的几何意义是将表示向量a的有向线段在原方向上伸长为原来的3倍．•二、数乘向量的运算律•1．λ(μa)＝(λμ)a；•2．(λ＋μ)a＝λa＋μa；•3．λ(a＋b)＝λa＋λb.•特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.•三、共线向量定理•向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________.b＝λa•向量与数可以作积，但不可以进行加减．•(1)λa的几何意义就是把a沿着与a相同(λ＞0时)或相反(λ＜0时)的方向伸长(|λ|＞1时)或缩短(|λ|＜1时)到原来的|λ|倍．•(2)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，比如λ＋a，λ－a无法进行运算．•(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0，这时就不必讨论方向了；当λ＝－1时，(－1)a＝－a，就是a的相反向量．已知点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3.(1)用BC→表示AB→；(2)用CB→表示AC→.【思路点拨】AB∶AC＝2∶3→AB＝2BC，AC＝3BC→AB→＝2BC→，AC→＝－3CB→•【题后总结】可借助几何图形、几何运算、几何性质等确定λ的值，但需注意λ的正负号．解：如图①，∵点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，故AB＝2BC，AC＝3BC.∴(1)AB→＝2BC→，如图②.(2)AC→＝－3CB→，如图③.1．点C在线段AB上，且AC→＝35AB→，则AC→＝______BC→.答案：－32•(1)向量的加法、减法以及数乘运算统称为向量的线性运算．形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用．•(2)向量的线性运算可以类比整式的运算进行：实数相乘λ(μa)＝(λμ)a实数相加(λ＋μ)a＝λa＋μa实数分配λ(a＋b)＝λa＋λb(1)化简234a－3b＋13b－146a－7b；(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．•【思路点拨】去括号、合并、化简．解：(1)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝234－32a＋－3＋13＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b.(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a＝13－1－1a＋－1＋23＋2b＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－5＋103i＋－103－53j＝－53i－5j.•【题后总结】向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解．2．设x，y为未知向量．(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；(2)解方程组12x－y＝a，x－12y＝b.解：(1)原方程可化为5x＋5a＋3x－3b＝0，∴8x＋5a－3b＝0，∴8x＝3b－5a，∴x＝38b－58a.(2)12x－y＝a，①x－12y＝b，②①×2－②得(x－2y)－x－12y＝2a－b，∴－32y＝2a－b，∴y＝23b－43a，代入①得12x＝a＋23b－43a，∴x＝2a＋43b－83a＝43b－23a.∴x＝43b－23a，y＝23b－43a.•共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点：•(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.•(2)定理中之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．•(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.(12分)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果AB→＝2e1＋3e2，BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2.求证A、B、D三点共线．【思路点拨】AD→＝AB→＋BC→＋CD→→AD→＝6AB→―――→向量共线定理AD→与AB→共线――――――――→AB→与AD→有共同的起点AA、B、D三点共线•【题后总结】证明三点共线，需从三点中任取三点形成两个向量，然后利用共线向量定理进行判断．【规范解答】∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6AB→，∴向量AD→与AB→共线.6分又∵AB→和AD→有共同的起点A，∴A、B、D三点共线.12分3．已知非零向量e1，e2不共线，且AB→＝e1＋e2，BC→＝ke1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，若A、B、D三点共线，试确定实数k的值．______.解：BD→＝BC→＋CD→＝ke1＋8e2＋2(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2.∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λBD→.即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]＝λ(k＋3)e1＋5λe2，∴[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.又e1、e2不共线，∴λk＋3－1＝0，1－5λ＝0，则k＝2，λ＝15.∴k＝2.误区：把向量等同于线段作除法【典例】如图，已知AM→＝13AB→，AN→＝13AC→.求证：MN→＝13BC→.【错误解答】因为AM→＝13AB→，AN→＝13AC→，所以AM→AN→＝AB→AC→，从而MN→∥BC→，AM→AN→＝AB→AC→＝13.故MN→＝13BC→.【正确解答】如题图，MN→＝AN→－AM→＝13AC→－13AB→＝13BC→.【纠错心得】有些实数的运算性质不能直接类推到向量上．上述证法的错误主要是把向量等同于线段作除法．中学阶段定义的向量运算有加法、减法、数乘及后边将要学习的数量积．上面解法中的AM→AN→＝AB→AC→＝13是错误的．