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一元二次不等式的应用------分式不等式和高次不等式的解法.会解可化为一元二次(或三次)不等式的分式不等式.以及高次不等式的解法一、简单分式不等式解法函数y=f(x)的图像(如图),不等式f(x)>0的解集为.(-1,0)∪(1,2)0231))((xx023011xx023012xx或0231)()(xx例1:解不等式解:原不等式等价于解(1)得32x1x321xxx或所以原不等式的解集为(2)解不等式解(2)得1x321xxx或得为整式不等式求解。因此,分式不等式可化同解。与由此可见此可见023x1x023x1x解:原不等式等价于所以原不等式的解集为.321xxx或0)23()1xx(例2:解不等式0)23)(1(xx023x(1)(2)解不等式(1)得1x32x或解不等式(2)得32x1.解分式不等式,首先要把它等价变形为整式不等式,其有如下几种类型(1)fxgx0⇔.(2)fxgx0⇔.(3)fxgx≥0⇔⇔f(x)g(x)0或f(x)=0.(4)fxgx≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0⇔或.f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)0f(x)=0解:原不等式可化为02231xx整理得02357xx即:0)23)(57(xx所以原不等式的解集为7532xxx或例4:解不等式2231xx0543xx1512xx例5:解不等式解:移项通分得所以原不等式等价于050543xxx))((即原不等式的解集为534xxx或小结2:对型不等式的解法kxgxf)()(一:移项二:通分三:化为整式不等式2x-1/3-4x1的解集为________.不等式x+2/x2的解集为________.解:约分得0)3()2(xx01x即010)3)(2(xxx所以原不等式解集为123xxx且例6:解不等式0)3)(1()2)(1(xxxx解法小结3:对于分子、分母可约分的分式不等式,先约去公因式,(但要注意到公因式不为零)再把它等价转化为前面讨论过的形式。解:所以原不等式可化为1122xxx整理0232xx21xx所以原不等式的解集为012xx因为恒成立11122xxx练习2:解不等式解法总结:解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式。在此过程中,等价性尤为重要,因此解分式不等式一般不去分母,而是将其转化为0)()(0)()(xgxfxgxf或等形式,再实施同解变形简单高次不等式解法探究:解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0点评:可知,高次不等式利用商或积的符号法则转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)求解。这种方法叫同解转化法。113,212.{123}.xxxxx尝试:由积的符号法则,本不等式可化成两个不等式组:解()得解()得原不等式的解集是以上两个不等式组解集的并集,故原不等式的解集为或1)(2)01)(2)03030(1)(2){{xxxxxx((或探究:解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0尝试2:令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,-+-+123将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”,“-”,图中标”+”号的区间即为不等式y0的解集.即不等式(x-1)(x-2)(x-3)0的解集为{x︳1x2或x3}.总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.解不等式(1)(x2-1)(x2-68+8)≥0(2)3x-5x2+2x-3≤2[解题过程]方法一:(x2-1)(x2-6x+8)≥0等价于x2-1≥0,x2-6x+8≥0,①或x2-1≤0,x2-6x+8≤0②不等式组①的解集为{x|x≥4或1≤x≤2或x≤-1}.不等式组②的解集为∅,∴原不等式的解集为{x|x≤-1或1≤x≤2或x≥4}.方法二:将原不等式化为(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)≥0.对应方程各根依次为-1,1,2,4,由数轴标根法(如下图所示)得原不等式的解集为{x|x≤-1或1≤x≤2或x≥4}.(2)原不等式等价变形为3x-5x2+2x-3-2≤0即为-2x2-x+1x2+2x-3≤0,即为2x2+x-1x2+2x-3≥0.即为2x2+x-1x2+2x-3≥0x2+2x-3≠0即等价变形为2x-1x+1x+3x-1≥0x≠-3且x≠1如下图所示,可得原不等式解集为xx-3或-1≤x≤12或x1.(也可将2x2+x-1x2+2x-3≥0转化为不等式组得2x2+x-1≥0x2+2x-30或2x2+x-1≤0x2-2x-30来解.)2.数轴标根法解不等式的步骤是(1)等价变形后的不等式一边是零,一边是各因式的积.(未知系数一定为正数)(2)把各因式的根标在数轴上.(3)用曲线穿根.(4)看图像写出解集.“从上往下同时从右向左”(遇奇穿过,遇偶折回)1.解不等式:(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0;(2)x2-4x+13x2-7x+2<1;(3)x2-2x+1x2+9x-10≥0.∴原不等式解集为{x|x-5或-5x-4或x2}.解析:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30⇔x+5≠0,x+4x-20.⇔x≠-5,x-4或x2,其解集如图的阴影部分.(2)x2-4x+13x2-7x+21⇔x2-4x+1-3x2+7x-23x2-7x+20⇔-2x2+3x-13x2-7x+20⇔2x-1x-13x-1x-20⇔(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)0.得不等式的解集为-∞,13∪12,1∪(2,+∞).(3)原不等式可化为x-12x-1x+10≥0,原不等式等价于(x-1)3(x+10)≥0(x≠1,且x≠-10).由图所示,可得不等式解集为{x|x-10,或x1}.
本文标题:高次不等式的解法资料
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