简单的三角函数恒等变换讲解

第1页版权所有不得复制年级高一学科数学内容标题简单的三角函数恒等变换编稿老师褚哲一、学习目标：1.了解积化和差、和差化积的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化.2.能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明.二、重点、难点：重点：三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.难点：公式的灵活应用.三、考点分析：三角函数的积化和差与和差化积这两种转化，对于三角函数式的求值、化简及恒等变形都有一定的作用，积化和差公式的推导运用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导运用了“换元”思想.高中阶段对这两组公式的教学与考查，只是将其作为基本的训练素材，结果不要求记忆，但同学们要注意体会并能运用它们进行简单的三角变换.三角函数的积化和差与和差化积公式1、公式的推导)(sincoscossinsinS，)(sincoscossinsinS，coscoscossinsin()，Ccoscoscossinsin()，CSSSS，CCCC，得sinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsin2222第2页版权所有不得复制即sinsin21cossin（1）sinsin21sincos（2）coscos21coscos（3）coscos21sinsin（4）公式（1）（2）（3）（4）叫做积化和差公式.其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积.为了用起来方便，在积化和差的公式中，如果令，，则22，.把这些值代入积化和差的公式（1）中，就有sinsin2122sin22sin212cos2sin·2cos2sin2sinsin·∴（5）同理可得，2sin2cos2sinsin·（6）2cos2cos2coscos·（7）2sin2sin2coscos·（8）公式（5）（6）（7）（8）叫做和差化积公式.其特点为：同名函数的和（或差）才可化积；余弦函数的和或差化为同名函数之积；正弦函数的和（或差）化为异名函数之积；等式左边为单角θ与，等式右边为2与2的形式.牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用.2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中虽然公式较多，但它们都不是孤立存在的.另外，弄清公式的来源及其内在联系，才能更好地记忆和使用它们.第3页版权所有不得复制例1：把下列各式化为和差的形式.（1）125cos12sin（2）55sin35cos2（3）yxyxcoscos.思路分析：利用积化和差公式解题.解题过程：（1）方法1：sincos12512·4321231213sin2sin2112512sin12512sin21方法2：125cos125cos125cos125cos12sin24321223126cos1265cos1（2）55sin35cos220sin120sin90sin5535sin5535sin（3）方法1：yxyxcoscos·yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx2cos212cos2122cos122cos122cos122cos122cos122cos1coscossinsincoscossinsincoscossinsincoscos222222·方法2：yxyxcoscos第4页版权所有不得复制yxyxyxyxyxyx2cos212cos212cos2cos21coscos21解题后思考：（1）只有牢记积化和差公式，解题时才能正确使用.（2）如求83sin8sin的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式也可求值，即424sin218cos8sin83sin8sin例2：把下列各式化成积的形式.（1）cosx12；（2）sincosxx.思路分析：只要将以上两题稍作变形，如将题（1）中的12换成3cos，题（2）中的cosx看作x90sin，即可直接应用公式进行化积.解题过程：（1）coscoscosxx12362sin62sin223sin23sin2xxxx（2）方法1：xxxx90sinsincossinoxx45cos245cos45sin2方法2：sincossincosxxxx2222245cos2sin45sincos45cos2sin22cos222xxxxx解题后思考：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中的12可化为cos3，题（2）中的xcos可化为x90sin.第5页版权所有不得复制（2）对于形如xbxacossin，可化为xbasin22的形式，也能达到实现和差化积形式的目的.例3：求值：（1）80cos20sin380cos20sin22；（2）csc40°+cot80°.思路分析：最常见的方法是降幂扩角及积化和差公式的应用，但对偶式的应用可能会使问题变得更简单.解题过程：（1）sincossincos22208032080oooo14021160232080112160403210060110060321003414321003210014coscossincoscoscossinsinsinsinsinsinsinooooooooooooo·（2）80sin80cos40sin1cot80csc4080sin80cos40cos40cos80sin80cos40cos280sin20cos60cos240cos80sin10cos30cos280sin20cos40cos330cos2解题后思考：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）的解题过程对这一点展现得淋漓尽致；题（2）巧妙地运用了对偶式，使解答变得简单.这种方法也可以解形如coscoscos204080ooo的求值题.例4：求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.思路分析：本题的解法具有一定的技巧性，可以用二倍角公式引起连锁反应，也可用积化和差公式解题.解题过程：方法一：sin6°sin42°sin66°sin78°120cos36cos2172cos60cos21第6页版权所有不得复制36cos2172cos214172cos36cos72cos36cos214116172cos36cos18sin54sin4116116118sin54sin18sin54sin41161方法二：sin6°sin42°sin66°sin78°6cos248cos24cos12cos6cos6sin26cos248cos24cos12cos12sin6cos448cos24cos24sin1616cos1696sin6cos848cos48sin解题后思考：积化和差、和差化积两套公式的运用灵活性较大.做题时既要注意公式的正确选择，还要认真考虑项与项之间的适当组合.三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数运算中起什么作用，和差化积公式在三角函数运算中就起什么作用.积化和差与积差化和是一对“孪生兄弟”，两者不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.在一般情况下，如遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.（答题时间：45分钟）一、填空题1.已知1sin()63，则2cos(2)3.2.已知3tan(),35则，则22sincos3cos2sin.3.积32cos32coscos化成和差为.4.50sin10sin70cos20sin的值是_______________.5.在ABC中，3sin463cos41ABABcossin，，则C的大小为________.第7页版权所有不得复制二、解答题1.已知51cossin,02xxx.（1）求sinx－cosx的值；（2）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.2.已知(0,)2，(,)2，7cos29，7sin()9.（1）求cos的值；（2）求sin的值.3.已知A、B、C是△ABC的内角，向量3,1m，且1mn（1）求角A；（2）若221sin2B3cosBsinB.求tanC4.是否存在锐角和，使得（1）322；（2）32tan2tan同时成立，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由.第8页版权所有不得复制一、填空题1.79解析：22cos(2)2cos()133，且1cos()sin()363所以27cos(2)39.2.333.3cos414.415.6解析：由3sin463cos41ABABcossin平方相加得sin()sinABCC1212656或若C56则AB613cos4013ABAsincos又2131ACC3566二、解答题1.解：（1）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得第9页版权所有不得复制即2524cossin2xx.2549cossin21cossin2xxxx.又02x.0cossin,0cos,0sinxxxx，故.57cossinxx（2）xxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2sin22sin3222121108sinxcosx(2cosxsinx)()(2)2551252.解析：（1）因为(,)2，cos0又27cos22cos19，所以1cos3（1）,根据（1），得222sin1cos3,3(,)22，且7si