简单的三角恒等变换

第1页共34页简单的三角恒等变换教学目标1．运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换．(重点)2．公式的综合运用，根据三角变换特点，设计变换过程．(难点)3．应用半角公式求值时的符号问题．(易混点)[基础·初探]教材整理半角公式阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题．sinα2＝±_1－cosα2，cosα2＝±_1＋cosα2，tanα2＝±_1－cosα1＋cosα，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sinα1＋cosα，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cosαsinα.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cosα2＝1＋cosα2.()(2)存在α∈R，使得cosα2＝12cosα.()第2页共34页(3)对于任意α∈R，sinα2＝12sinα都不成立．()(4)若α是第一象限角，则tanα2＝1－cosα1＋cosα.()解：(1)×.只有当－π2＋2kπ≤α2≤π2＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cosα2＝1＋cosα2.(2)√.当cosα＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tanα2＝1－cosα1＋cosα成立．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√化简求值问题(1)已知cosθ＝－35，且180°θ270°，求tanθ2；(2)化简(1－sinα)(1－sinβ)－sinα＋β2－cosα－β22.(1)①cosθ＝－35→tanθ2＝±1－cosθ1＋cosθ→tanθ2的值；②cosθ＝－35→tanθ2＝1－cosθsinθ或tanθ2＝sinθ1＋cosθ→tanθ2的值．第3页共34页对于(1)的思考要注意符号的选择．(2)灵活运用三角函数公式求解．解：(1)法一：因为180°θ270°，所以90°θ2135°，即θ2是第二象限的角，所以tanθ20，∴tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－－351＋－35＝－2.法二：因为180°θ270°，即θ是第三象限角，∴sinθ＝－1－cos2θ＝－1－925＝－45，∴tanθ2＝1－cosθsinθ＝1－－35－45＝－2.(2)原式＝1－(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ－sin2α＋β2－2sinα＋β2cosα－β2＋cos2α－β2＝1－2sinα＋β2cosα－β2＋sinαsinβ－1－cos（α＋β）2＋1＋cos（α－β）2－2sinα＋β2cosα－β2＝sinαsinβ＋12[]cos（α＋β）－cos（α－β）＝sinαsinβ－sinαsinβ＝0.1．解决给值求值问题的方法及思路第4页共34页(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题．(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．2．三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后能否出现特殊角；②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致．[再练一题]1．(1)已知sinα＝55，cosα＝255，则tanα2等于()A．2－5B．2＋5C．5－2D．±(5－2)第5页共34页(2)化简（1－sinα－cosα）sinα2＋cosα22－2cosα(－πα0).解：(1)因为sinα＝550，cosα＝2550，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限．所以tanα20，故tanα2＝1－cosα1＋cosα＝1－2551＋255＝5－2.【答案】C(2)原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22×2sin2α2＝2sinα2sinα2－cosα2sinα2＋cosα22sinα2＝sinα2sin2α2－cos2α2sinα2＝－sinα2cosαsinα2.因为－πα0，所以－π2α20，所以sinα20，第6页共34页所以原式＝－sinα2cosα－sinα2＝cosα.三角恒等式的证明(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2；(2)求证：2sinxcosx（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1）＝1＋cosxsinx.(1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证．(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．解：(1)左边＝1＋2cos2θ－cos2θ＝1＋2×1＋cos2θ2－cos2θ＝2＝右边．所以原等式成立．(2)左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立．第7页共34页三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．[再练一题]2．已知0απ4，0βπ4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求证：α＋β＝π4.证明：∵3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，∴3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.又∵4tanα2＝1－tan2α2，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝12，第8页共34页∴tan(α＋β)＝2tanα＝1，∵α＋β∈0，π2，∴α＋β＝π4.三角函数在实际问题中的应用如图3－2－1所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？图3－2－1设∠AOB＝α→建立周长l（α）→求l的最大值解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsinα＋π4＋R.∵0απ2，∴π4α＋π43π4.∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，第9页共34页即当α＝π4时，△OAB的周长最大．1．解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响．[再练一题]3．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？解：如图所示，设∠AOB＝θθ∈0，π2，则AB＝asinθ，OA＝acosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，∴S＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.∵θ∈0，π2，∴2θ∈(0，π)．因此，当2θ＝π2，第10页共34页即θ＝π4时，Smax＝a2.这时点A、D距离O的距离为22a，矩形ABCD的面积最大值为a2.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合探究1如何求函数y＝sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)的最小正周期？【提示】y＝sin2x－π6＋1－cos2x－π6＝2sin2x－π6－π4＋1＝2sin2x－512π＋1，所以函数的最小正周期T＝π.探究2研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答？【提示】研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式再解答．已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质．第11页共34页解：(1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π4＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π22x＋π4≤5π4，即π8x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．第12页共34页[再练一题]4．已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝－sin2x－cos2x＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝22sin2x－π4，由于x∈0，π2，所以2x－π4∈－π4，3π4，则sin2x－π4∈－22，1.所以f(x)在0，π2上的最大值为22，最小值为－2.[构建·体系]1．若cosα＝23，α∈(0，π)，则cosα2的值为()第13页共34页A．66B．－66C．306D．－306解：由题意知α2∈0，π2，∴cosα20，cosα2＝1＋cosα2＝306.【答案】C2．已知cosα＝35，α∈