简单的三角恒等变换3.2

第1页共62页§3.2简单的三角恒等变换第2页共62页自学导引(学生用书P93)第3页共62页1.熟练掌握两角和与差的正弦､余弦､正切公式的应用.2.熟练掌握二倍角公式的正用､逆用､变形用.3.培养学生灵活应用三角公式进行三角恒等变换的能力.第4页共62页课前热身(学生用书P93)第5页共62页cos(α±β)=_______________________.sin(α±β)=________________________.tan(α±β)=________.sin2α=________________.cos2α=____________=____________=______________.tan2α=________.cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβ1tantantantan2sinαcosα2cos2α-11-2sin2αcos2α-sin2α221tantan第6页共62页名师讲解(学生用书P93)第7页共62页1.三角公式掌握三角函数的图象和性质.牢记同角之间的三角公式和诱导公式.熟悉两角和､差､二倍角公式,弄清它们之间的内在联系,注意公式的正用､逆用､变形用.第8页共62页2.三角恒等变换主要包括:(1)角的变换——异角化同角.(2)名的变换——异名化同名.(3)式的变换——幂的升降等.为了实现以上三种变换,要从以下几方面进行解题:(1)发现差异——观察,分析角､名､形之间的差异.(2)根据式子的结构特征,找出差异间的内在联系.(3)选用恰当的公式进行合理转化､以达到解题之目的.第9页共62页3.对于函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的探讨:222222222222222222222222cossinfx(sinxcoscosxsin)sin()1,1.1,..x,abfxabsinxcosxababababababababababababab易知且令则第10页共62页2222,.2,:().ababTfx由此可以得到一些结论的最大值为最小值周期等等第11页共62页典例剖析(学生用书P93)第12页共62页题型一化asinx+bcosx为同名的三角函数例1:函数y=-acos2x-asin2x+2a+b,x∈若函数的值域是[-5,1],求常数a,b的值.3[0,],4第13页共62页:(322)231222222222.620,2.4663121.26yasinxcosxabasinxcosxabasinxabxxsinx解≤≤≤≤≤≤第14页共62页当a0时,ymax=-2a×+2a+b=1.①ymin=-2a×1+2a+b=-5.②由①②得a=6,b=-5.∴a=6,b=-5.当a=0时,y=b与函数值域[-5,1]矛盾,∴a≠0.第15页共62页当a0时,ymax=-2a×1+2a+b=1.③ymin=-2a×+2a+b=-5.④由③④得a=-6,b=1,∴a=-6,b=1.综上所述a=6,b=-5或a=-6,b=1.第16页共62页规律技巧:将三角函数化为同名的三角函数y=-2asin(2x+)+2a+b后,由于系数含有a(a∈R),要对a进行分类讨论,分a0,a=0,a0三种情况进行讨论.做到不重不漏.6第17页共62页变式训练1:求函数f(x)=sinx+cosx的最值､周期.3maxmin::cosx()fx2,fx31322().2,223T.2sinxcosxsinx1fxsinx解解法周期第18页共62页maxmin312:()32()222().fx2,fx2,T2.6fxsinxcosxcosxsinxcosx解法周期第19页共62页题型二化简与求值   :1.11:1sincossincossincossincos2例化简分析1:根据本题各式的分子､分母的构成,可利用二倍角的正弦､余弦公式,将分子､分母均予以化积,之后约分化简.第20页共62页222222222222222222222222222222222.22:sincossincossincoscossincossincossinsincoscossinsincossinsincos1解法原式第21页共62页分析2:本题也可先通分,然后再利用同角三角函数关系式､约分等手段进行化简.222222(1)(1)(1)(1)2(1)24(1)2.(1)2(:1)sincossincossincossincossincossinsincossinsinsin2解法原式第22页共62页变式训练2:求值:(1)tan20°+4sin20°;(2)cos12°cos24°cos48°cos96°.分析:(1)中切化弦､通分变形求解,在(2)中,注意式子中所给角为倍数关系,且为余弦,可都乘除sin12°,利用倍角公式可解.第23页共62页20240202(6020)2:(020202(60206020)203203.20)sinsinsinsincoscossinsincoscossincoscoscos1解原式第24页共62页121224489612124244896212148(489641219696812119216121121.161216)sincoscoscoscossinsincoscoscossinsincoscossinsincossinsinsinsinsin2原式第25页共62页规律技巧:在化简或求值中若式子中含切､弦函数,常用切化弦求解,在所给式子中角之间具有倍数关系,可变形应用倍角公式求解.第26页共62页题型三三角恒等式的证明212.142  2 ::cossintantan3例求证分析:由题目知,左边较复杂,可对左边变形(切化弦､统一角)推出右边.第27页共62页222222222222222:2222:coscossinsincoscossincoscoscossincossinsincos证明方法一左边第28页共62页222221122.4.cossincossincoscoscossincossin右边原式成立第29页共62页222222122211221112224:..costantancostantancostancossinsin方法二左边右边原式成立第30页共62页规律技巧:证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简､左右归一或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一,变更论证等方法.常用定义法､化弦法､化切法､拆项拆角法､“1”的代换法､公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.第31页共62页变式训练3:在锐角△ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明:∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴tan(A+B)=tan(π-C),∴=-tanC,∴tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB),∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.1tanAtanBtanAtanB第32页共62页易错探究(学生用书P95)第33页共62页例4:设函数f(x)=2cos2ωx+sin(2ωx-)+a(其中ω0,aR),且f(x)的图象在y轴的第一个最高点的横坐标为(1)求ω的值;(2)如果f(x)在区间上的最小值为,求a的值.6.6[,]633第34页共62页:xa31()1222231221.2126fxcosxcossincosasin2xxaxsin2x错解()1.()sin,662162x,(),3.a122fx由题设知当时有最小值第35页共62页2(),66(),().2:kkZ122错因分析解答第问时不严谨应为第忽略了角的范围:xxxa312231xxa2112.6afx1cos2Sin2cos2sin2cos2sin2x正解第36页共62页2(),(),626,66xx,x.kkZkkZ120k01得又当时故第37页共62页1,665,3266()()fxsin2x,,(56631313,3.2)2aaa21x2x2xxfx由知由≤≤知≤≤当即时有最小值第38页共62页技能演练(学生用书P95)第39页共62页基础强化33,(,),52255..552525..5.cos5ABCD1cos已知且则的值为第40页共62页2233,,0.22242:321,251,255.25coscoscoscoscos解析由得答案:B第41页共62页1()(,2),2..22..22.cosAsinBcosCsinDcos2设则等于第42页共62页(,2),(,),0.2221()1||.222:2coscoscoscoscos解析答案:D第43页共62页3.函数y=8sinxcosxcos2x的最小正周期为T,最大值为A,则().,4.,42.,2.,22ATABTACTADTA2:,TA2.,42y8sinxcosxcos2x4sin2xcos2x2sin4x解析最小正周期最大值答案:D第44页共62页41(0,),,,23.7....3468tanABCD4tan且则的值为、若第45页共62页4137()1.4111370,,,222a.:t4ntantantantan解析答案:B第46页共62页2212.1515.211213022.5..212.5.2AsincosBcoscostanCDtan5下列各式中值为的是第47页共62页11151530.243221.126231130232.222:1:,D.sincossincoscoscosABC解析解法排除､､应选第48页共62页2222.51222.5122.52122.51145,22:D.tantantantantan2D解法由得故选答案:D第49页共62页6.若f(x)=cos2x+8sinx,则它的最大值和最小值分别是()A.最大值是9,最小值是-9B.最大值不存在,最小值为7C.最大值是7,最小值是-9D.最大值是7,最小值不存在第50页共62页解析:f(x)=cos2x+8sinx=1-2sin2x+8sinx=-2(sin2x-4sinx)+1=-2(sinx-2)2+9.∵x∈R,-1≤sinx≤1,∴当sinx=1时,f(x)有最大值7;当sinx=