狭义相对论的动力学基础

一、相对论质量动量定义vmP＝牛顿力学：质量与速度无关相对论力学：质量与速度有关，否则动量守恒定律不能在洛仑兹变换下保持形式不变。说明：x’'y’''iuABxyOO''iu'iuS'系：有M，静止于O't时刻分裂MmmBA21据动量守恒定律，A、B速率应相等，设：uuuBAS相对S'以－u‘运动，S中A静止，B运动O'相对O的速度为ux’'y’''iuABxyOO''iu'iu据相对论速度变换：2212cuuvBxxxvcuuvv21所以S系：分裂前粒子速度为u，动量为Mu,分裂后A、B总动量为mBvB,质量守恒：M＝mA+mB动量守恒：Mu=mBvB即：2212)(cuumummBBA2212)(cuumummBBA在牛顿力学中：mA=mB=m上式为：22122cumumu显然不成立应该：动量守恒定律在任何惯性系中均成立，且动量定义保持不变。考虑：mA、mB为各自速率的函数mA≠mB2212)(cuumummBBA由可解出222211cucummAB由2212cuuvB可得：22211cvvcuBB代入mB得:221cvmmBAB221cvmmBABmA:静止粒子质量m0mB:运动粒子质量m2201cvmm记作：m称相对论性质量。式中v为粒子相对某一参照系的速率。cv0mm牛顿力学讨论：1、宏观物体一般v=104m/s,此时：102200106.521111mmm微观粒子速率接近光速如中子v=0.98c时003.5mm2201cvmmvc时，m成为负数，无意义所以光速是物体运动的极限速度。2、牛顿力学是相对论力学在低速情况下的近似二、相对论动量2201cvmm相对论动量可表示为：vmP＝根据：2201cvvmvmP＝在相对论力学中仍用动量变化率定义质点受到的作用力，即：)(vmdtddtPdF注意：质量随速度变化三、相对论动能仍用力对粒子做功计算粒子动能的增量，并用EK表示粒子速率为v时的动能，则有vvvKvmdvrddtvmdrdFE000)()(dmvmvdvdmvvvdvmvmdv2)(2201cvmm202221mcvm2202222cmvmcm2202222cmvmcm将两边求微分:0222222vdvmdmmvdmmcmvdvdmvdmc2220220cmmcdmcEmmK即相对论动能公式。202cmmcEK则：又回到了牛顿力学的动能公式。20222021cmccvm2020202cmvmcm2021vm22222221121111cvcvcv当vc时:2022201cmccvmEK根据可以得到粒子速率由动能表示的关系为：2202211cmEcvK表明：当粒子的动能由于力对其做功而增大时，速率也增大。但速率的极限是c，按照牛顿定律，动能增大时，速率可以无限增大。实际上是不可能的。四、相对论能量质能关系202cmmcEK静止能量动能总能量2mcE为粒子以速率v运动时的总能量0EEEK动能为总能和静能之差。结论：一定的质量相应于一定的能量，二者的数值只相差一个恒定的因子c2。2mcE为相对论的质能关系式常量)(2cmEiiii按相对论思维概念，几个粒子在相互作用过程中，最一般的能量守恒应表示为：常量iim表示质量守恒历史上：能量守恒动量守恒独立相对论中：统一放射性蜕变、原子核反应的证明。核反应中：反应前：反应后：静质量m01总动能EK1静质量m02总动能EK2能量守恒：22021201KKEcmEcm因此：2020112)(cmmEEKK20cmE核反应中释放的能量相应于一定的质量亏损。总静止质量的减小质量亏损总动能增量例1、在S参照系中有两个静止质量均为m0的粒子A、B。分别以速度相向运动，相撞后合在一起成为一个静止质量为M0的粒子。求M0ivvAivvB解：设合成粒子质量M、速度V据动量守恒VMvmvmAABBBABABAmmvvmm0000MMVvvBA据能量守恒：22202cmcmcMMcBA即：220012cvmmmMBA＝可见000022mMmM在此题中设有S’系以速度运动，证明在此参照系中A、B在碰撞前后动量守恒。ivu证明：用速度变换可以得到icvvvvBA22120合成粒子的速度：ivV＝－碰前总动量为：icvvcvmvmvmBBBAA22201210前已证明：222222111cvcvcvBicvvmvmvmBBAA22012－所以：碰后合成粒子的总动量为：ivMVMM'可以通过能量守恒求出：2220202221ccvmcmcmcmcMBBA－2202001211cvmcvmmMB可见：BBAAvmvmVM＝ivV＝－可见在S'系中动量守恒的表达式形式与S系中相同。同时证明动量守恒的不变性和能量守恒的不变性是相互联系在一起的。例2、在一种热核反应nHeHH＋10423121中各种粒子的静止质量为：氘核：m1=3.3437×10-27kg氚核：m2=5.0049×10-27kg氦核：m3=606425×10-27kg中子：m4=1.6750×10-27kg求这一热核反应释放的能量是多少？解：质量亏损为：kg100311.010)6750.16425.6()0049.53437.3()()(272743210mmmmm相应释放的能量为：1216272010799.2109100311.0cmE＝1kg这种核燃料所释放的能量为：J/kg1035.3103486.810799.214271221mmE这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量的1千多万倍！五、相对论的能量动量关系2mcEvmP＝PEcv222422022202111PEcccmcvcmmcE42022221cmPEcE由上式得：420222cmcPE＝即相对论的动量能量关系式PcEm0c2以E、Pc、m0c2表示三角形的三边，可构成直角三角形。动能为EK的粒子：0EEEK代入上式得：222022cPcmEEkk220kkEcmEcv略去022/mPEk回到了牛顿力学。