11复变函数课件

1复变函数与积分变换授课人戴振宏烟台大学光电信息学院地址：科技馆1217E-Mail:[e-mail]@ytu.edu.cnTel:13954524566（Mobile）6901947（O)2为什么要学习这门课程？•目前整个人类知识分为三大学科门类•（1）自然科学——研究自然界万物基本变化规律的•（2）工程技术——利用已有科学知识进行技术实用化•（3）社会科学——研究社会发展变化规律的•实际上，每一门学科都有其研究对象和其内在的变化规律，其研究分为定性研究和定量研究，而要想真正理解研究对象的性质和规律，最终需要定量研究，这就离不开数学。数学的发展1、数的概念：自然数，整数，实数，有理数，无理数，奇数，偶数人类对数学的认识，都是和实际应用联系在一起的，最先掌握的是自然数，当时是为了计数的方便，打猎的时候分配统计猎物。3为什么要学习这门课程？•而后在货物交易中发现，有时为了更好表达数量的减少引入了负数的概念。•随着社会发展，发现有些东西无法用整数表示，会出现非完整的一类对象，就引入了小数的概念即将整数扩展为实数，这些都是现实存在的。•随着人类对知识的进一步渴望，就想研究某类对象（即其物理量）随时间和空间的变化规律，为了描述这类物理量的变化情况，就引入了实变函数的概念f(x,t)，•为了获得这个函数,就需要研究此类现象遵循的规律，需要给这个规律赋予一个数学方程来表达，这就引入了数理方程的概念。这些方程往往是偏微分，积分方程或者线性方程和非线性方程。4为什么要学习这门课程？•2、函数的概念：functionf(x),f(x,t)，初等函数•幂函数•指数函数•对数函数•三角函数sin(x),cos(x)•双曲函数sinh(x),cosh(x)()mfxxloglogln()xxaex(),xxfxae5为什么要学习这门课程？特殊函数，如球谐函数，贝赛尔函数等函数y=f(x)的性质：（1）定义域，值域•（2）奇偶性•（3）单调性•（4）周期性•（5）极值性•（6）极限和连续性xx1lim1e2.71828x骣÷ç+==÷ç÷ç桫6为什么要学习这门课程？•3、方程的概念•函数U(x,y,t)•边界条件•初始条件•因此理工科的学生需要具备如下能力：•（1）清晰的学科基本思想和概念•（2）严密的数学知识，特别是应用数学•（3）良好的英语水平•（4）熟练的计算机应用知识7为什么要学习这门课程？•应用数学分为：•初等数学（代数）研究了数和函数的概念，包括：双曲函数，三角函数，指数函数，对数函数，幂函数，方程式•解析几何•立体几何•高等数学•导数——研究变化快慢，•微积分——研究求和•级数——进行分解•向量算法与场论，微积分方程）•线性代数（处理矩阵和行列式，线性变换的）•概率论和数理统计•复变函数与积分变换•数理方程•计算方法和群论8第一篇复变函数•第一章：复数与复变函数现在引入了复数的概念，为什么呢？人们在研究自然科学的时候，发现有些物理量不仅仅与大小有关，还有相位（即前后位置或者时间早晚）有关，比方量子力学中的态，电学中的交流电和通信中的信号，这些物理量不但有大小，还有相位（比方延迟），这就引进了复数的概念。9第一篇复变函数•第一章：复数与复变函数引入复数的概念后电阻采用复阻抗表示为R，电感由于电流比电压落后/2，复阻抗为为RL=iL，电容电流比电压超前/2，复阻抗为RC=-则交流电下的欧姆定律为U=I（R+RC+RL）我们以前的数学中学过的实变函数与现在的复变函数都是以”变量“为研究对象的数学课程。•实变函数的变量来自于“实数”集合•复变函数中的变量来自于“复数”集合•本章的内容是：复数的概念•复数的运算•复变函数的概念及性质c1i101.1复数•一、【概念】：复数最早（十六世纪）是在二次，三次代数方程的求解中引入的。考虑二次方程•其解为•当•现在定义一个符号i，242bbacxa-?=20axbxc++=240bac-21i=-2222(4)(1)(4)422acbacbixbcbaiaa-=±----?实数纯虚数复数111.1复数•在以上的处理中，引入了一个虚单位i，并让i2=-1，这是最早复数的引入（所谓虚，就是指自然界中不存在的数）•问题：是否正确？•通过以上的介绍，我们知道，一个复数总可以表示为一个实数与某个纯虚数之和•也就是说，复数是由一对有序实数（x，y）表示出来的，上式也叫复数的代数式。1i=-zxyi=+实部，记为x=Re(z)(realnumber)虚部，记为y=Im(z)(imaginarynumber)121.1复数•二、【复数的几何三角表示】：实数x：是用数轴上的点表示复数z=x+yi：是一对有序实数（x，y）唯一确定，可用两个数轴表示出来当然要求两数轴无关（？）（通常用正交的两个数轴）这个双数轴就构成了一个面——复平面如果把x和y当做平面上的点坐标，复数z=x+yi就跟平面上的点一一对应起来。两个坐标轴分别叫实轴和虚轴在复平面上，复数z还与从原点O到z=x+yi所引的向量一一对应起来，因此，也可以用向量来表示复数z=x+yio负数正数oXReImYxyz=x+yi131.1复数•复数z=x+yi与“复平面”中的向量一一对应（两个自由度）•因而也可改用极坐标和表示，引入复数的三角表示，因为它也给出了复平面上任意一点叫做该复数的模，记为|z|也即矢量的长度（Modulus）MOD(z)，反应了数的大小叫复数的辐角（argument）记做Arg(z)，它反应了相位22,cos,sinyxyarctgxxyrjrjrj骣÷ç=+=÷ç÷ç桫==oReImz复平面这种表示有个问题，就是辐角的不唯一性141.1复数通常约定在一个周期内定义辐角，即（0，2）表示为arg(z)，是Arg(z)的主值，或z的主辐角（注意：有两个点0和，其辐角没有明确的定义）()arg()2,(0,1,2,)Argzzkkp=+=北151.1复数•三、【复数的指数表示】：•复数•由欧拉公式定义•上式叫复数z的指数表达式，欧拉公式可以利用指数级数展开证明的。•我们刚才说了，有两个特殊点无法在复平面上表示出来，•为了解决这个问题，扩充了复平面，•建立一个测地投影模型oReImz复平面cossin(cossin)zxiyiirjrjrjj=+=+=+cossiniieizejjjjr=+?161.1复数•三、【复数的指数表示】：•复数平面上有限远点与球面上N点以外的•点一一对应，•o点对应南极，无穷远点对应北极oReImz复平面171.1复数•四、【复数的性质】：•（1）复数相等实部和虚部分别相等，但是复数不能比较大小，只有相等和不相等但复数的模和辐角可以比较大小。•（2）特殊的复数：实数x，纯虚数iy，虚单位i•（3）复数的共轭z*,本书的表示为oReImz复平面z*(cossin)izxiyiejrjjr-=-=-=Z*-181.1复数•五、【复数的运算】：•虚单位计算（1.1)•共轭运算()()*22*111212121222,,*****,****zxiyzxiyzzxyzzzzzzzzzzzz=-=+?+骣÷ç÷+=+??ç÷ç÷ç桫oReImz复平面Z*-21i=-191.1复数•五、【复数的运算】：oReImz复平面Z*-201.1复数•五、【复数的运算】：oReImz复平面Z*-211.1复数•六、复数的四则运算和几何意义：••复数的几何意义•复数——对应于复平面上的一个点•复数等式——对应于复平面上的一条曲线•复数不等式——对应于复平面上的一个面oReImz2复平面z1-z2z1+z2z1-z212121212zzzzzzzz+?-?221.1复数•复数的几何意义•（1）•（2）•（3）•（4）•（5）•（6）arg4zp=arg(1)3zp+=11z-=arg2zp142zi+226zizi-++=-4i2i-2i-1射线1231.1复数•六、复数的四则运算和几何意义：•更多的复数不等式表示241.1复数251.1复数261.2复数乘幂和方根•一、【复数的乘幂】：先前我们讲了复数的加减乘除运算，但是复数的乘除运算最好使用指数形式。原因？12()12irerqq-12()12irreqq+271.2复数乘幂和方根281.2复数乘幂和方根二、【复数的方根】•称满足wn=z的复数W为z的n次方根，记做即•取•复数即可以用实部和虚部表示出，•实数的很多运算适合复数运算nz1nnwzz==iwreq=()222(0,1,2,)niinnkinnreerrknkknweqjjprrrjpqjpqr+=??+=+?=北?全部根k=0,1,,n-1个单根（一个周期内）,inineejjrrmn=nz=x+iy=zf(z)=(x,y)+(x,y)i291.2复数乘幂和方根二、【复数的方根】例子：Z8=1301.2复数乘幂和方根二、【复数的方根】311.3平面点集•一、【区域的概念】•在解析函数论中，函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域，用B表示，数学上用不等式表示区域，等式表示曲线。BBBB321.3平面点集•一、【区域的概念】•下面介绍几个概念•（1）邻域：复平面上，以z0为中心，以任意小正实数为半径做一个圆，•内部的点的集合称为以z0为中心的邻域，叫做去心邻域•（2）内点：若z0及其邻域均属于点集B，则称z0为该点集的内点•（3）外点：若z0及其邻域均不属于点集B，则称z0为该点集的外点•（4）边界点：在z0的每个邻域内，即有属于B的点，也有不属于B的点，则z0为边界点。•（5）边界：其全体构成边界0zze-Babz0c00zze-331.3平面点集•（6）开集：全由内点构成的点集B•（7）连通性：即点集中任意两点都可以有一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集•（8）开区域：联通的开集称为开区域或区域B•（9）闭区域：开区域加上边界线一起•BBabz0c341.3平面点集•区域是各种各样的，常用不等式表示，采用大于或者小于表示的是开区域，使用大于等于或者小于等于表示是闭区域•（10）区域边界的方向•如果沿着边界走，区域保持在左方，则走向称为边界的正向351.4复变函数•一、【定义】：若在复数平面上存在一点集B（复数集合），对于B的每一点，按照一定的规律，有一个单值（或多值）复数值W与之对应则称W为z的函数——复变函数f(z)Z为W的宗量（自变量）自变量z的定义域B记做w=f(z)zBBzW361.4复变函数371.4复变函数以后的讨论中，如无特殊声明，均为单值函数在复变函数论中，着重研究的是解析函数二、【反函数与复合函数】1()()wfzzfw-=?BzW()()()()wfzwfhhzjj===为与的复合函数381.5初等函数•一、【指数函数】：••运算法则与实变函数一样•二、【对数函数】••指数函数的反函数•本书中(cossin)zxiyxiyxweeeeeyiy+====+()1122znzzznzzeeeee-==()wLnz=()()()()()ln()(arg()2)(0,1,2,)iArgzwLnzLnzeLnziArgzzizkkp===+=++=北ln()ln()arg(),()ln()2zzizLnzzkip=+=+391.5初等函数•例子：•三、【幂函数】••例子：wzaa=为复常数()()(())()()()LnzfzzLnfzLnzLnzfzzeaaaaa=?=?=(ln()arg()2arg()ln()()2)(0,1,)izizkiziziiLnzkzeeeekpp++-+-====?ln()ln(1)22()2(0,1,2,)2iiiLniikikpppp=+==+=北401.5初等函数••四、【三角函数】•五、【双曲函数】1sin()21cos()2sincos()cotcossinizizizizzeeizeezztgzzzz--=-=+==1sin()()21cos()(