第八章 分离变量法

§8.1正交函数系傅里叶级数第八章分离变量法一.正交函数系为定义在区间[a,b]上的函数系.()(1,2,)nxn如果该函数系满足：则称函数系为[a,b]上的正交函数系.*()()0,bnmaxxdxmn，()nx如果该函数系还满足：则称函数系为[a,b]上的正交归一函数系.2*()()()1,bbnnnaaxxdxxdx()nx正交归一关系可记为：*0,,()()1,.bnmmnamnxxdxmn例：①为定义在[-T/2,T/2]上的正交函数系.1,cos,sin(1,2)nxnxn122,cos,sin(1,2)nxnxnTTT为定义在[-T/2,T/2]上的正交归一函数系.1(0,1,2)inxenT和②★函数空间线性代数中,建立了以向量为元素的向量空间.与此类似，可以建立以函数为元素的函数空间.对建立于区间[a,b]上的函数空间，定义内积为：*[,]()()bmnnmaxxdx则，可将向量空间的正交、归一、长度、基等概念推广到函数空间.向量空间内积正交归一长度(范数)22212,nxxxxxx1122,Tnnxyxyxyxyxy[,],0,arccos2xyxyxy1xSchwartz不等式2[,][,][,]xyxxyy基的单位化121212,,,rrrbbbeeebbb函数空间内积正交归一范数*,()()bmnnmaxxdx2*[,]()()()bbnnnnnnaaxxdxxdx*,()()0,()bmnnmaxxdxmn1nSchwartz不等式222*()()bnmmnaxxdx☆对正交函数系，作归一化(单位化)得正交归一函数系：()nx()()nnxx(1,2,)n例:对正交函数系，归一化得:1,cos,sinnxnx122,cos,sin(1,2)nxnxnTTT()()nnnfxCx*21()()()bnnanCfxxdxx[a,b]上的函数f(x),由正交函数系展开为:()nx则展开系数为：■正交函数系展开★若已归一化，则()nx*()()bnnaCfxxdx二.傅里叶级数狄利克莱定理设函数f(x)以T为周期,在区间[-T/2,T/2]上满足狄利克莱条件,即在该区间上，至多存在有限个第一类间断点和极限点，01()(cossin)2nnnafxanxbnx其中,/2/2/2/22()cos2()sinTnTTnTafxnxdxTbfxnxdxT则f(x)可展开为傅里叶级数:在连续点x,傅里叶级数值收敛于f(x)；1[(0)(0)]2fxfx在间断点x,级数收敛于在边界点x=±T/2,级数收敛于1[(0)(0)]222TTff◆物理意义：周期信号可分解为直流成分、基波成分()和高次谐波(n)成分之和◆傅里叶级数,即将函数f(x)用区间[-T/2,T/2]上的正交函数系作展开.1,cos,sin(1,2)nxnxnHow:由傅里叶级数正交关系,计算展开系数?◆若T=2l，则01()(cossin)2nnnanxnxfxabll1()cos1()sinlnllnlnxafxdxllnxbfxdxll其中：若f(x)为奇函数,则an=0,1()sinnnnxfxbl若f(x)为偶函数,则bn=0,01()cos2nnanxfxal◆傅里叶正弦/余弦级数◆若傅里叶级数的正交函数系选为复函数(0,1,2)inxen则有复数形式的傅里叶级数：()expnnfxcinx/2/21()exp(0,1,2)TnTcfxinxdxnT其中，例8.1将函数展开为傅里叶级数，并写出复数形式.221()(1)12cosafxaaxa三.有限区间上函数的傅里叶展开对定义在有限区间[0,l]上的函数f(x),可先将函数延拓为周期函数,再展为傅里叶级数.例：先作偶延拓:1(),0()(),0fxxlfxfxlx再作周期延拓,可展为傅氏余弦级数.若，先作奇延拓:1(),0()(),0fxxlfxfxlx再作周期延拓,可展为傅氏正弦级数.此时,f'(0)=0此时,f(0)=0l注:在x0点作偶延拓,则;需根据题意，作适当的延拓.例8.2将函数展开成傅里叶级数，并使.(),(0,)fxxxl'(0)0,()0ffl作奇延拓,则.xyO0'()0fx0()0fxTips:同一个函数可以延拓为不同周期的函数，进而给出函数的不同的级数表达式.对有限区间上函数的傅里叶级数展开,首先应注意延拓的周期T；亦即，要注意所采用的正交函数系是定义在哪个区间上的.2T[,]22TT2T常用展开区间：展开系数计算中的常数：周期T展开频率：§8.3分离变量法的解题步骤考虑两端固定的均匀弦的自由振动20000(0,0)0,0(0)(),()(0)ttxxxxltttuauxltuutuxuxxly两端固定的弦的振动形成驻波.驻波可表示成空间变量函数X(x)与时间变量函数T(t)之积.即(,)()()uxtXxTt步骤一.分离变量1.对泛定方程：2''''0XTaXT2''''TXaTX2''0''0TaTXX2.对边界条件：(0)()0,()()0XTtXlTt(0)0,()0XXl即：(,)()()uxtXxTt令将代入，得指标方程步骤二.求解本征值问题''0(0)0,()0XXXXl1.若，()xXxe20012()xxXxcece(0)()0XXl121200llcccece线性方程组系数行列式不为0120cc通解为：()0Xx即时，为平凡解.0由2.若,012()Xxccx(0)()0XXl120cc即时，仍为平凡解.0由3.若,012()cossinXxcxcx(0)0X10c通解为：要得非零解，则由()0Xl得通解为：2sin0cl20,sin0cl,(1,2,)lnn222nnl本征函数：本征值：()sinnnnXxcxl将代入步骤三.求出特解222nnl2''0TaT得：()cossinnnnnanaTtatbtll特解(,)cossinsinnnnnananuxtAtBtxlll每一个特解对应于弦上的一个驻波.22sin()sinnnnnanABtxll特解只满足边界条件(本征解),不满足初始条件.步骤四.叠加得通解,并由初始条件确定待定系数1(,)cossinsinnnnnananuxtAtBtxlll01()sintnnnuxAxl1()sinnnnxAxl01()sinttnnnanuxBxlly由初始条件:02()sinlnnAxxdxll02()sinlnnBxxdxnaly待定系数为：该问题的通解为：1(,)cosnssniinnnnanauxtAtBtllnxlCompare:两端固定的弦的自由振动问题例：两端自由的弦的自由振动问题及其通解20000(0,0)0,0(0)(),()(0)ttxxxxlxtttxuauxltuutuxuxxly001(,)ccosossinnnnuxtnanaAtBtllABtnxl§8.2一般混合问题的简化§8.5齐次化原理210120101(,)(0,0)(),()(0)(),()(0)ttxxxxltttuaufxtxltuutuuttuxuxxly思路:1.分离变量法中,需要齐次化的边界条件,才能给出本征解。2.非齐次的泛定方程,可由齐次化原理，化为非齐次问题求解。例：满足齐次边界1.边界条件的齐次化令(,)(,)(,)uxtvxtxtv(x,t)为待定函数，并且满足非齐次边界012(),()xxlvutvut设，则(,)()()vxtAtxBt012()()()()()xxlvutBtvutAtlBt1211()()()[()()]lBtutAtutut2111(,)[()()]()lvxtututxut即解出v(x,t)：若为其他类型的边界,可类似求出.参考习题8.2.(,)xt2210010010(,)[](,)0()()()()ttxxttxxxxltxtttxafxtvavfxtxvxxvxyy(,)xt满足齐次边界条件：2.叠加原理和齐次化原理一般受迫振动=自由振动+纯受迫振动.III(,)(,)(,)xtxtxtI(,)xt满足:I2III0II000(0,0)0(0)(),()(0)ttxxxxltttaxlttxxxly令计算(,)xt解出.分离变量法可由II(,)xt满足：II2IIIIII0IIII00(,)(0,0)0(0)0,0(0)ttxxxxltttafxtxlttxl由齐次化原理，II0(,)(,,)txtyxtd满足：(,,)yxt200(0,)0()0,(,)(0)ttxxxxlttyayxltyytyyfxxl令，也可由分离变量法解出。'tt(,,)yxt综上，一般混合问题的解为：(,)(,)(,)uxtvxtxtIII(,)(,)(,)vxtxtxtI0(,)(,)(,,)tvxtxtyxtd其中，I(,,),(,)yxtxt均可由分离变量法计算。例8.4均匀杆纵振动问题Page13120000,(0,0)0,sin,(0)0,0,(0)ttxxxxxltttuauxltuubttuuxl例8.3细杆导热问题Page1302000000,(0,0),,(0),(0)txxxxxltuauxltquuutkuuxl合理选取待定函数v(x,t),将使ω(x,t)的计算变简单！§8.4分离变量法的应用边界条件的齐次化例8.11，两端固定弦的纯受迫振动问题2000cossin,(0,0)0,0,(0)0,0,(0)ttxxxxxxltttxuauAtxltluutuuxl习题8.5,3(1)非齐次热传导问题:同样由齐次化原理求解200sin,(0,0)0,0,(0)0,(0)txxxxltxuauAxltluutuxl齐次化原理求解非齐次问题：附:习题8.5,4非齐次常微分方程也可应用齐次化原理！§8.4分离变量法的应用—有界区域热传导问题、位势方程边值问题1.矩形区域上的位势问题000000,(0,0),,,(0),,,(0).xxyyxxayybuuxaybuuuuybuuuUxa