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3.2函数极限的性质一.极限的性质二.利用函数极限的性质计算某些函数的极限定理3.2如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,,)(0,0,0101edde--$Axfxx时有当则,)(0,0202edd--$Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1(0),,min(021dddd-=.2)()())(())((e-+----=-BxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA=e(1)(2)一函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性定理3.3若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.若极限)(lim0xfxx存在，)(xf0x则函数在的某一空心邻域上有界。证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00ddexUxAxfxxo$==.1)(1)(+-AxfAxf.);()(0内有界在即dxUxfo3.局部保号性).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000dd$=xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理3.4证明设A＞0,对任何0,,A-,rAre=取d则存在＞0,使得对一切0;xUxd有,fxAre-=＞这就证得结论.对于A＜0的情形可类似地证明.).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000dd$=AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论定理3.4(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0),而且A0(或A0),那么对任何正数rA(或r-A),在x0的某一去心邻域内,有f(x)r0(或f(x)-r0)证明);(,0,),1,0(,00ddexUxrArA$-=使得则取设.)(rAxf=-e有.0的情形类似可证对于r•推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0),而且f(x)A(xx0),那么A0(或A0)3.局部保号性定理3.5(函数极限的保不等式性)证明).(lim)(lim),()();()(),(00'00xgxfxgxfxUxgxfxxxxxx则内有极限都存在且在时如果do,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx==设)1(),(0,0,0101xfAxx--$edde时有当则)2(.)(0,0202edd+-$Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(),1()()(,0},,,min{021'-=ddddd,)()(ee+-BxgxfA.,2BABA+的任意性知由从而ee4保不等式).()(),,(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxxdd$==有则且设推论定理3.6如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x),(2)limg(x)=A,limh(x)=A,那么limf(x)存在,且limf(x)=A证明),(0,0,0101xgAxx，--$edde时有当按假设.)(0,0202edd+-$Axhxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,min{021xhxfxgxx-=dddd,)()()(ee+-AxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfxx=-即由此得e5迫敛性Axfxx=)(lim0Bxgxx=)(lim0定理3.7设,则BAxgxfxx=)()(lim0BAxgxfxx=)()(lim0BAxgxfBxx=)()(lim,001）2）3）6四则运算法则(3)的证明只要证Bxgxx1)(1lim0=，令020=Be，由Bxgxx=)(lim0，01$d使得当100d-xx时，有2)(BBxg-，即22)()(BBBBxgBxg=---0e,仍然由Bxgxx=)(lim0，.02$d，使得当200d-xx时，有e2)(2BBxg-.取),min(21ddd=，则当d-00xx时，有ee=--=-22)(2)()(1)(1222BBBxgBBxgBxgBxgBxgxx1)(1lim0=即推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2⑤定理的条件：)(lim),(limxgxf存在商的情形还须加上分母的极限不为0⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf=则为常数而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf=则是正整数而存在如果二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限..已证明过以下几个极限：;coscoslim,sinsinlim,lim,lim0000000xxxxxxCCxxxxxxxx====.2lim,01lim==arctgxxxx（注意前四个极限中极限就是函数值）利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅[4]P37—38.我们将陆续证明这些公式.利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。例１求01limxxx.4lim(1)xxtgx-例２求.例３求.224sinsinlim4==xx.22coslim4=xx(利用极限和)3113lim.(1)11xxx---++ee+-11xa只须)1(log)1(logee+-aax又只须)}1(log,11min{logeed+-=aa令时当d||0x)1(log11logedde+---aaxee+-11xae-|1|xa即1lim0=xxa例4证明)1(1lim0=aaxx证0e（不妨设ε＜1）e-|1|xa要使.523735lim233+++-xxxxx例6求例5求xx註:关于的有理分式当时的极限.参阅[4]P37.11lim1071--xxx).1)(1(121++++-=---aaaaannn[利用公式].74lim222-=-++BxBAxxx求A和B.1620(,.)33AB=-=补充题:已知求极限方法举例例7.531lim232+--xxxx求解)53(lim22+-xxx5lim3limlim2222+-=xxxxx5limlim3)lim(2222+-=xxxxx52322+-=,03=531lim232+--xxxx)53(lim1limlim22232+--=xxxxxx3123-=.37=小结:则有设,)(.1110nnnaxaxaxf+++=-nnxxnxxxxaxaxaxf+++=-110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa+++=-10100).(0xf=则有且设,0)(,)()()(.20=xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx=)()(00xQxP=).(0xf=.,0)(0则商的法则不能应用若=xQ例8.3214lim21-+-xxxx求解)32(lim21-+xxx,0=商的法则不能用)14(lim1-xx又,03=1432lim21--+xxxx.030==由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21=-+-xxxx例9.321lim221-+-xxxx求解.,,1分母的极限都是零分子时x)00(型.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x)1)(3()1)(1(lim321lim1221-+-+=-+-xxxxxxxxx31lim1++=xxx.21=(消去零因子法)例10.147532lim2323-+++xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx-+++=-+++.72=(无穷小因子分出法)小结:为非负整数时有和当nmba,0,000==++++++--,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例11).21(lim222nnnnn+++求解是无穷小之和．时,n先变形再求极限.222221lim)21(limnnnnnnnn+++=+++2)1(21limnnnn+=)11(21limnn+=.21=由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。三、复合函数极限定理（复合函数极限运算法则——变量代换法则）AufxfAufaxxaxauxxauxx====)(lim)]([lim,)(lim,)(,)(lim000则又的某去心邻域内但在设证知由Aufau=)(lim0,0$e有时使当,||0-aue-|)(|Auf得又由axxx=)(lim000$d，对上述有时使当,||00d-xx-|)(|axax)(又-|)(|0axe-|)]([|Axf由极限定义得Aufxfauxx==)(lim)]([lim0此定理表明：满足定理的条件与若)()(xuf则可作代换转化为把求)]([lim)(0xfxuxx=)(lim),(lim0xaufxxau=这里——极限过程的转化注1AufAufxaxuau====)(lim)(lim)(lim)(lim换成换成如将可得类似的定理注2定理中的限制条件0Uxxa“在某内不能少,例如,令0,x=1,0,0,0,ufuu==00lim0,1lim1uxfufxfx===则而例9求39lim23--xxx例12解392--=xxy是由uy=与392--=xxu复合而成的解因为639lim23=--xxx,所以6lim39lim623==--uxxux因为639lim23=--xxx,所以6lim39lim623==--uxxux因为639lim23=--xxx,所以6lim39lim623==--uxxux因为639lim23=--xxx,所以6lim39lim623==--uxxux6）.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.四、小结1函数极限的性质1）.唯一性；2）.局部有界性；3.局部保号性；；4）保不等式；5）迫敛性；7).复合函数的四则运算法则.