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第1页（共20页）绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7}3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm第2页（共20页）5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）第3页（共20页）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为．14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．15．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx的最小值为．16．（5分）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，第4页（共20页）BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．第5页（共20页）20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）++≤a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．第6页（共20页）2019年全国统一高考数学答案解析（文科）（全国1卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解．【解答】解：由z＝，得|z|＝||＝．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2．【分析】先求出∁UA，然后再求B∩∁UA即可求解【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁UA＝{1，6，7}，则B∩∁UA＝{6，7}故选：C．【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题．3．【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．4．【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，第7页（共20页）由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于＝110，即有该人的身高小于110+68＝178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105＝170cm，故选：B．【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．5．【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C．【解答】解：∵f（x）＝，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（）＝，因此排除B，C；故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．6．【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为＝10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{an}，则an＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616．故选：C．【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．7．【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．第8页（共20页）【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．8．【分析】由（﹣）⊥，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴＝，∴＝＝，∵，∴．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．9．【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A＝，k＝1；满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝2；满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝3；第9页（共20页）此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．【分析】由已知求得，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得，则＝，∴＝，得，∴e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．11．【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，∴，解得3c2＝，∴＝6．故选：A．第10页（共20页）【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：+＝1．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【分析】对y＝3（x2+x）ex求导，可将x＝0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．14．【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解第11页（共20页）【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝，∴q≠1，＝，整理可得，，解可得，q＝﹣，则S4＝＝＝．故答案为：【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题15．【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化