平面直角坐标系中的伸缩变换

平面直角坐标系中------的伸缩变换xyO2113y=sin2xy=sinx(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?伸缩前点的坐标：(x,y)伸缩后点的坐标：(x′,y′)两者的对应关系：横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。12xxyy①通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。①y=3sinxy=sinxxyO21221(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?两者的对应关系：纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。3xxyy②通常把②叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x?写出其坐标变换.xyO211x′=xy′=3y123通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。③定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应P′(x′,y′).称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x’=2xy’=3y后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=1典型例题1已知伸缩变换及原曲线方程，求变换后曲线方程由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？结论分析：有关曲线伸缩变换的一般性结论①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。0),(:yxfCyyxxyyxxyyxx1,1,C:C0),1(yxf0)1,(yxf0)1,1(yxf②.曲线在伸缩变换（或或）作用下（时表示拉伸时表示压缩），所得曲线的方程为：（或或）.0),(:yxfC1:C0),(yxf0),(yxf0),(yxf11③.曲线上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为原来的，可得曲线（或或时表示压缩，时表示拉伸）.'21'2xxyy1、在伸缩变换下，写出下列曲线变换后的方程222123102)43)121xyyxxy）随堂练习'3,'xxyy22'9'9,xy例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线求曲线C的方程并画出图象.已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程典型例题222'21'9-91,xxyyxy、经过伸缩变换后，曲线变为求原方程随堂练习已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：(1)直线x－2y=2变成直线2x′－y′=4.(2)曲线x2－y2－2x=0变成曲线22'16'40.xyx典型例题33.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：22224936''1xyxy曲线变为曲线随堂练习4.设M1是A1(x1,y1)与B1(x2,y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别为M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点.随堂练习5.已知函数(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?213cossincos1,22yxxxxR随堂练习