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第5讲指数与指数函数考试要求1.有理指数幂的含义及运算，B级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B级要求.知识梳理1.根式(1)概念：式子na叫做，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a＜0.根式2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于；0的负分数指数幂.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.nam1nam0没有意义ar＋sarsarbr3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(1)值域(2)性质(3)过定点，即x＝0时，y＝1(4)当x＞0时，；当x＜0时，(5)当x＜0时，；当x＞0时，(6)在(－∞，＋∞)上是函数(7)在(－∞，＋∞)上是函数R(0，＋∞)(0，1)y＞10＜y＜1y＞10＜y＜1增减诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.()(5)函数y＝141－x的值域是(0，＋∞).()××××√2.已知函数f(x)＝ax(0＜a＜1)，对于下列命题：①若x＞0，则0＜f(x)＜1；②若x＜0，则f(x)＞1；③若f(x1)＞f(x2)，则x1＜x2.其中正确命题的个数为________.解析结合指数函数图象可知①②③正确.答案33.(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.解析∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1x2，∴原不等式的解集为(－1，2).答案(－1，2)4.已知0≤x≤2，则y＝4x－12－3·2x＋5的最大值为______.解析令t＝2x，则1≤t≤4，y＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12，又1≤t≤4，所以t＝1时，ymax＝52.答案525.(苏教版必修1P63T5(5)改编)计算：2a23b12－6a12b13÷－3a16b56＝________.答案4a考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：(1)0.06415－2.523－3338－π0；(2)a12a12a；解(1)原式＝64100015－5223－27813－1＝410315×－52×23－32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝a12a12·a12＝a12·（a12·a12）12＝a.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】计算：4a23b－13÷－23a－13b－13.解原式＝(－6)a23＋13b－13＋13＝－6a.考点二指数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________(填序号).①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)已知实数a，b满足等式2014a＝2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个.解析(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)设2014a＝2015b＝y，如图所示，由函数图象，可得若y＞1，则有a＞b＞0；若y＝1，则有a＝b＝0；若0＜y＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立.答案(1)④(2)2规律方法(1)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象，利用数形结合求解.【训练2】(2015·南京、盐城模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].答案[－1，1]考点三指数函数的性质及应用【例3】(1)(2015·天津卷改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________.(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.解析(1)由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，即f(x)＝2|x|－1，其图象过原点，且关于y轴对称，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.又a＝f(log0.53)＝f(－log23)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，且0＜log23＜log25，所以c＜a＜b.(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在a，1a上单调递增，则ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13(负值舍去).综上知a＝3或a＝13.答案(1)cab(2)3或13规律方法(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.【训练3】(1)(2015·山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.解析(1)当a＞1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，∴a－1＋b＝－1，a0＋b＝0方程组无解；当0＜a＜1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数，∴a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2.∴a＋b＝－32.(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].答案(1)－32(2)(－∞，4][思想方法]1.比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性和底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.3.与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题.[易错防范]1.指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等.2.形如a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式，常借助换元法转化为二次方程或不等式求解，但应注意换元后“新元”的范围.