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第四节直线、平面平行的判定与性质考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.空间平行的判定.2.空间平行的性质.1.理解空间直线和平面位置关系的定义.2.了解直线和平面的位置关系.3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理.高考试题的考查角度有两种：一种是直线与平面平行的判定和性质应用；一种是平面与平面平行的判定和性质应用.直线与平面平行的判定以及平面与平面平行的判定是高考热点.预测以棱柱、棱锥为载体考查空间中的平行关系.知识点一直线与平面平行1.判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线_____，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).∵l∥a，l⊄a，a⊂α，∴l∥α.平行2.性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与直线_____(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，b＝α∩β，∴l∥b.平行知识点二平面与平面平行1.判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_____直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”).∵a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，且a∥β，b∥β，∴α∥β.相交2.性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_____平行.∵α∥β，γ∩β＝b，γ∩α＝a，∴a∥b.交线【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)六种方法：判定平面与平面平行的方法方法一利用定义，常用反证法完成方法二利用面面平行的判定定理方法三利用面面平行的判定定理的推论方法四面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)方法五利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)方法六用向量法证明平面与平面平行(2)一个关系：三种平行间的转化关系2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.方法1直线与平面平行的判定及性质1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.2.证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行.【例1】如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明(1)如图①，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，图①又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一如图②，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.图②法二如图③，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，又AB＝AD，所以D为线段AF的中点，连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.因此∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.图③[点评]解答本题的关键是观察出线、面之间的隐含关系，作出恰当的辅助线或辅助面.方法2立体几何中探索性问题解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：先假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在.如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数λ的方程.即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题.【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.[解题指导](1)可过E作平面ABB1A1的垂线、作线面角；(2)先探求出点F，再进行证明B1F∥平面A1BE.注意解题的方向性.解(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，图(a)则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3.则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C1D1上存在一点F，使B1F∥平面A1BE.图(b)事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面.所以BG⊂平面A1BE.[点评](1)本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力.(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB1A1的垂线，以致无法确定线面角.(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难.(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.