(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

第2讲椭圆、双曲线、抛物线专题六解析几何高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引高考真题体验12341.(2015·福建)若双曲线E：x29－y216＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3解析由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.B12342.(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|等于()A.72B.52C.3D.21234解析∵FP→＝4FQ→，∴|FP→|＝4|FQ→|，∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34，∴|QQ′|＝3,根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3,故选C.答案C12343.(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋12＝22.1234由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.答案2212344.(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________.解析设点B的坐标为(x0，y0).∵x2＋y2b2＝1，∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0).∵AF2⊥x轴，∴A(1－b2，b2).∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1→＝3F1B→，1234∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0).∴x0＝－531－b2，y0＝－b23.∴点B的坐标为－531－b2，－b23.将B－531－b2，－b23代入x2＋y2b2＝1，得b2＝23.∴椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.答案x2＋32y2＝1考情考向分析1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).热点一圆锥曲线的定义与标准方程热点分类突破1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.例1(1)若椭圆C：x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|＝4，则∠F1PF2等于()A.30°B.60°C.120°D.150°解析由题意得a＝3，c＝7，所以|PF1|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°.C(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为()A.x22－y26＝1B.x26－y22＝1C.x2－y23＝1D.x23－y2＝1解析双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，故可知ba＝3，又∵焦点坐标为(2,0)，∴c＝a2＋b2＝2，解得a＝1，b＝3.∴双曲线方程为x2－y23＝1.答案C思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.跟踪演练1(1)(2014·大纲全国)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1解析由e＝33得ca＝33.①又△AF1B的周长为43，由椭圆定义，得4a＝43，得a＝3，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为x23＋y22＝1.答案A(2)(2015·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为()A.x221－y228＝1B.x228－y221＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝1解析双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b＝3a，①抛物线y2＝47x的准线方程为x＝－7，由已知，得a2＋b2＝7，即a2＋b2＝7，②联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为x24－y23＝1，选D.答案D热点二圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－(ba)2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋(ba)2.2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.例2(1)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.解析直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.3－1(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±3xB.y＝±22xC.y＝±(3＋1)xD.y＝±(3－1)x解析由题意作出示意图，易得直线BC的斜率为ab，cos∠CF1F2＝bc，又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，故cos∠CF1F2＝bc＝4a2＋4c2－16a22×2a×2c⇒b2－2ab－2a2＝0⇒(ba)2－2(ba)－2＝0⇒ba＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y＝±(3＋1)x.答案C思维升华(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.跟踪演练2(1)设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，若在直线x＝a2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是()A.0，22B.0，33C.22，1D.33，1解析设Pa2c，y，线段F1P的中点Q的坐标为b22c，y2，当存在时，则＝cya2＋c2，＝cyb2－2c2，2QFk1FPk2QFk由＝－1，得y2＝(a2＋c2)·(2c2－b2)c2，y2≥0，12·FPQFkk但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b20，即3c2－a20，即e213，故33e1.当不存在时，b2－2c2＝0，y＝0，此时F2为中点，即a2c－c＝2c，得e＝33，2QFk综上，得33≤e1，即所求的椭圆离心率的取值范围是33，1.答案D(2)(2015·重庆)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－2，0)∪(0，2)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题作出图象如图所示.由x2a2－y2b2＝1可知A(a,0)，F(c,0).易得Bc，b2a，Cc，－b2a.∵kAB＝b2ac－a＝b2a(c－a)，∴kCD＝a(a－c)b2.∵kAC＝b2aa－c＝b2a(a－c)，∴kBD＝－a(a－c)b2.∴lBD：y－b2a＝－a(a－c)b2(x－c)，即y＝－a(a－c)b2x＋ac(a－c)b2＋b2a，lCD：y＋b2a＝a(a－c)b2(x－c)，即y＝a(a－c)b2x－ac(a－c)b2－b2a.∴xD＝c＋b4a2(a－c).∴点D到BC的距离为b4a2(a－c).∴b4a2(c－a)a＋a2＋b2＝a＋c，∴b4a2(c2－a2)＝a2b2，∴a2b2，∴0b2a21.∴0ba1.答案A热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.例3(2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到直线l：x＝－a2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；解由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程.解当AB⊥x轴时，|AB|＝2，又|CP|＝3，不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1,2＝2k2±2(1＋k2)1＋2k2，C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝22(1＋k2)1＋2k2.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意.从而k≠0，故直线PC的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，则P点的坐标为－2，5k2＋2k(1＋2k2)，从而|PC|＝2(3k2＋1)1＋k2|k|(1＋2k2).因为|PC|＝2|AB|，所以2(3k2＋1)1＋k2|k|(1＋2k2)＝42(1＋k2)1＋2k2，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.跟踪演练3(1)(2015·四川)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线