空气动力学流体运动学和动力学基础

EXIT第2章流体运动学和动力学基础2.1描述流体运动的方法2.2流体微团运动的分析2.3理想流体运动微分方程组2.3.1连续方程2.3.2Euler运动微分方程组2.3.3Bernoulli积分及其物理意义2.3.4Bernoulli方程的应用2.4流体运动积分方程组2.4.1Lagrange型积分方程2.4.2Reynolds输运方程2.4.3Euler型积分方程2.5环量与涡EXIT§2.1.1拉格朗日方法与欧拉方法连续介质假设：流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）Lagrange(1736-1813)，法国数学家、物理学家，分析力学的创始人，呈被拿破仑称为“数学科学高耸的金字塔”。在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)其中，a,b,c为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点的。t表示时间。a.b.c.t称为拉格朗日变数。a.b.c给定，表示指定质点的轨迹。t给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。(警察抓小偷的方法)§2.1描述流体运动的方法xyztzyx,,·(a,b,c)EXIT对于给定流体质点，速度表达式是流体质点的加速度为流体质点的其它物理量也都是a,b,c,t的函数。迹线方程为§2.1描述流体运动的方法ttcbazwttcbayvttcbaxu),,,(,),,,(,),,,(222222),,,(,),,,(,),,,(ttcbazattcbayattcbaxazyxdtwdzvdyudxEXIT2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法）Euler(1707-1783)，瑞士数学家、物理学家，提出变分原理，建立了理想流体运动方程。在该方法中，观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。（引出流线概念）其中，x,y,z为空间点的坐标。t表示时间。x.y.z.t称为欧拉变数。x.y.z给定，t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。t给定，x.y.z变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。(守株待兔，看门房式的工作方法)§2.1描述流体运动的方法),,,(V),,,(),,,(tzyxwkwjviutzyxvtzyxuEXIT应指出，空间点速度本质上指的是t瞬时恰好占据该空间点流体质点所具有的速度。一个布满了某种物理量的空间称为场。流体流动所占据的空间称为流场。如果物理量是速度，描述的是速度场。如果是压强，称为压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场，否则为非定常场。对于定常速度场的表达为：，…§2.1描述流体运动的方法),,(zyxuu一个速度场EXIT用欧拉法来描述流场时，观察者直接测量到的是速度，那么在流体质点的运动过程中，质点的速度变化是如何引起的，怎样正确表示流体质点的加速度呢，以下面例子说明之。参看下图，第1图表示流体质点从A流到B速度不变；第2图表示流体质点从A流到B点，因水位下降引起速度减小；第3图表示流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。§2.1描述流体运动的方法EXIT设速度函数具有一阶连续的偏导数，现在来求加速度。设某一流体质点在t时刻位于流场中M点，经过微分时段位于N点，根据加速度定义有根据台劳级数展开，流场非定常性引起的速度变化为§2.1.2欧拉法的加速度表达式ttMVtNVttNVttNVdtVdttMVttNVtVdtVdatttt),(),(lim),(),(lim),(),(limlim0000)(),(),(),(2tOtttNVtNVttNVtVttMVttOtttNVttNVttNVtt),()(),(lim),(),(lim200EXIT由于流场不均匀性引起的速度变化为§2.1.2欧拉法的加速度表达式),...,(),(),(),(),(),(),...,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),(22xOzztMVyytMVxxtMVtMVtNVxOzztzyxVyytzyxVxxtzyxVtzyxVtzzyyxxVtNVztMVwytMVvxtMVuztMVtzytMVtyxtMVtxtxOzztMVyytMVxxtMVttMVtNVttttt),(),(),(),(lim),(lim),(lim),...,(),(),(),(lim),(),(lim000200EXIT综合起来，得到流体质点的全加速度为等式右边第1项表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，称为局部加速度，或当地加速度；右边第2项表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度，位变加速度，或对流加速度。二者的合成称为全加速度，或随体加速度。写成分量形式为§2.1.2欧拉法的加速度表达式VVtVdtVdazVwyVvxVutVdtVda)(zwwywvxwutwdtdwzvwyvvxvutvdtdvzuwyuvxuutudtduEXIT§2.1.2欧拉法的加速度表达式算子表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速度外，对流场中其它变量也成立。如对于压强p，有zwyvxutdtdzpwypvxputpdtdp如果流动参数是一维空间流程坐标s和时间t的函数，速度场为v（s,t）。则全加速度表示为：svvtvDtDvasvsEXIT根据上述分析，可得出以下各图中的加速度表达式。§2.1.2欧拉法的加速度表达式EXIT§2.1.3流线、流管、流面与流量在某一瞬时t，从流场中某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微分段到达邻点，再按邻点在同一瞬时的速度指向再画一个微分段，一直画下去，当取微分段趋于零时，便得到一条光滑的曲线。在这条曲线上，任何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致，这样曲线称为流线。在任何瞬时，在流场中可绘制无数条这样的流线。流线的引入，对定性刻画流场具有重要意义。由于流线上各点的切线方向与该点的速度方向一致，则流线上的切线方向的三个余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速分量与合速度组成的三个方向余弦相同。表示为微分的关系是Vdswdzvdyudx称为流线微分方程时间t固定EXIT流线是反映流场瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：（1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。（2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。（3）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一时刻，一点处只能通过一条流线。（4）在奇点和零速度点例外。§2.1.3流线、流管、流面与流量EXIT与流线密切相关的，是流管和流面两个概念。流管是由一系列相邻的流线围成。在三维流动里，经过一条有流量穿过的封闭曲线的所有流线围成封闭管状曲面称为流管。图2-6流管（a）流线组成流管侧壁；（b）没有流量由流管侧壁流出流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面。由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。dAnVmA)(dAnVQA)(dAnVgGA)(流量是单位时间内穿过指定截面的流体量（体积、质量或重量），例如穿过上述流管中任意截面A的体积流量、质量流量和重量流量可分别表为QmG其中，是局部速度向量，是密度，是微元面积的法线向量VndA§2.1.3流线、流管、流面与流量EXIT§2.2流体微团运动的分析§2.2.1流体微团的基本运动形式在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：（1）质点（无体积大小的空间点）只有平移运动（平动）；（2）刚体（具有一定体积大小，但无变形）运动除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）；在流体力学中，研究对象是质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：（1）平动；（2）转动；（3）线变形运动；（4）角变形运动EXIT§2.2.1流体微团的基本运动形式平动转动（角平分线转动）线变形运动角变形运动（角平分线不动）EXIT为便于分析，在流场中任取一平面微团分析。根据台劳级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度。（u,v,w）（2）线变形速率线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为§2.2.1流体微团的基本运动形式txxutuxxuuAB)(EXIT由此得到x方向的线变形速率为同理，在y方向的线变形速率为平面微团的面积变化率为§2.2.1流体微团的基本运动形式xuxtABtx)(lim0yvytACty)(lim0yxtyvxutyxtyxyvxutyxyvxutyxyxtyyvytxxuxtyxACABVdiv20t0t0limlimlim)(EXIT（3）角变形速率与旋转角速度在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）在微分时间内，AC边的偏转角度为（顺时针为负）§2.2.1流体微团的基本运动形式txvxtvxxvvxBB1tyuytuyyuuyCC2EXIT平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示。设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为α，边线的纯角变形量为β，则由几何关系可得解出可得§2.2.1流体微团的基本运动形式21222121