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-1-1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;tan(α±β)=tan𝛼±tan𝛽1∓tan𝛼tan𝛽.2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼.3.降幂公式cos2α=1+cos2𝛼2;sin2α=1-cos2𝛼2;sinαcosα=sin2𝛼2.-2-4.辅助角公式asinx+bcosx=𝑎2+𝑏2sin(x+φ),其中cosφ=𝑎𝑎2+𝑏2,sinφ=𝑏𝑎2+𝑏2.5.正弦、余弦定理(1)正弦定理:𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R(R为三角形外接圆的半径).(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐等.6.三角形面积公式:S△ABC=12absinC=12bcsinA=12casinB.7.重要结论sinA=sin(B+C),sinB=sin(A+C),sinC=sin(A+B).-3-一、选择题(共12小题,满分60分)1.(2018全国Ⅲ,文4)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-892.已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79B.-29C.29D.79B解析cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79.A解析sin2α=2sinαcosα=(sin𝛼-cos𝛼)2-1-1=-79.故选A.-4-3.若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45B.-15C.15D.45D解析(方法1)cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2𝜃-sin2𝜃cos2𝜃+sin2𝜃=1-tan2𝜃1+tan2𝜃=1--1321+-132=45.故选D.(方法2)∵tanθ=-13,∴sin𝜃cos𝜃=-13,即3sinθ=-cosθ.两边平方得9sin2θ=cos2θ,即9×1-cos2𝜃2=1+cos2𝜃2,解得cos2θ=45.-5-4.已知sin2α=23,则cos2𝛼+π4=()A.16B.13C.12D.23A解析cos2𝛼+π4=1+cos2𝛼+π22=1-sin2𝛼2=1-232=16.5.(2018全国Ⅱ,文7)在△ABC中,cos𝐶2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25A解析∵cosC=2cos2𝐶2-1=-35,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=42.-6-6.已知3sin2θ=4tanθ,且θ≠kπ(k∈Z),则cos2θ等于()A.-13B.13C.-14D.14B解析∵3sin2θ=4tanθ,∴6sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=6tan𝜃1+tan2𝜃=4tanθ,∵θ≠kπ(k∈Z),tanθ≠0,∴31+tan2𝜃=2,解得tan2θ=12,∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2𝜃-sin2𝜃cos2𝜃+sin2𝜃=1-tan2𝜃1+tan2𝜃=1-121+12=13.故选B.-7-7.在△ABC中,角A,B,C对应边分别为a,b,c,已知三个向量m=𝑎,cos𝐴2,n=𝑏,cos𝐵2,p=𝑐,cos𝐶2共线,则△ABC形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形A解析∵向量m=𝑎,cos𝐴2,n=𝑏,cos𝐵2共线,∴acos𝐵2=bcos𝐴2.由正弦定理得sinAcos𝐵2=sinBcos𝐴2.∴2sin𝐴2cos𝐴2cos𝐵2=2sin𝐵2·cos𝐵2cos𝐴2.则sin𝐴2=sin𝐵2.∵0𝐴2π2,0𝐵2π2,∴𝐴2=𝐵2,即A=B.同理可得B=C.∴△ABC形状为等边三角形.故选A.-8-8.若tanθ+1tan𝜃=4,则sin2θ=()A.15B.14C.13D.12D解析sin2θ=2sinθcosθ=2sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=2tan𝜃tan2𝜃+1=2tan𝜃+1tan𝜃=24=12,故选D.-9-9.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.5C.2D.1B解析由题意知S△ABC=12AB·BC·sinB,即12=12×1×2sinB,解得sinB=22,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+(2)2-2×1×2×22=1.此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+(2)2-2×1×2×-22=5,解得AC=5,符合题意.故选B.-10-10.设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°,b=22(sin56°-cos56°),c=1-tan239°1+tan239°,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.cabD.acbD解析a=sin40°cos127°+cos40°·sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,b=22(sin56°-cos56°)=22sin56°-22cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c=1-tan239°1+tan239°=cos239°-sin239°cos239°cos239°+sin239°cos239°=cos239°-sin239°=cos78°=sin12°,∵sin13°sin12°sin11°,∴acb.故选D.-11-11.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sinA=()A.310B.1010C.55D.31010D解析(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,S△ABC=12a·13a=12acsinB,c=23a.由正弦定理,得sinC=23sinA.∵C=3π4-A,∴sinC=sin3π4-𝐴=23sinA,即22cosA+22sinA=23sinA,整理得sinA=-3cosA.∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+19sin2A=1,即sin2A=910,解得sinA=31010(排除负值).故选D.-12-(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=12a·𝑎3=12acsinB,∴c=23a.∴b2=a2+23𝑎2-2a·2𝑎3·22=5𝑎29,即b=5𝑎3.由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得sinA=𝑎sin𝐵𝑏=𝑎×225𝑎3=31010.故选D.-13-12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=()A.π12B.π6C.π4D.π3B解析由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinA·sinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,得2sin3π4=2sin𝐶,即sinC=12,所以C=π6,故选B.-14-二、填空题(共4小题,满分20分)13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.π3解析由题意和正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即cosB=12.又因为B∈(0,π),所以B=π3.-15-14.已知α∈0,π2,tanα=2,则cos𝛼-π4=.31010解析由tanα=2,得sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=15.因为α∈0,π2,所以cosα=55,sinα=255.因为cos𝛼-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4,所以cos𝛼-π4=55×22+255×22=31010.-16-15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.675°解析由正弦定理得𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,即sinB=𝑏sin𝐶𝑐=6×323=22.因为bc,所以BC,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.-17-16.(2018全国Ⅰ,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.233解析由正弦定理及条件,得sinBsinC+sinCsinB=4sinA·sinBsinC,所以sinA=12.因为b2+c2-a2=80,所以cosA0,0Aπ2,所以cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=32,所以bc=833,所以S△ABC=12bcsinA=233.