自控原理课件第03-5,6节系统的稳定性分析邹

2020年2月25日1第五节线性系统的稳定性分析2020年2月25日2一、稳定的概念和定义所谓稳定，就是原来处在平衡状态的系统受到扰动后会偏离原来的平衡状态，扰动消失后，借助于自身的调节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反之，则称为不稳定。ABCDabCde系统不稳定情况：离初始状态越来越远；达到另一个平衡状态。2020年2月25日3•稳定：t→∞∆X→0•系统响应y(t)=稳态分量+暂态分量•∆X→衰减→稳定；∆X→发散→不稳定•系统的稳定性是系统回复到平衡状态的能力，与外作用无关,是系统本身的固有特性,它决定扰动消失后,暂态分量消减与否。112020年2月25日4二、线性定常系统稳定的充要条件根据稳定性定义，系统稳定性应当决定于系统响应中的暂态分量。而暂态分量与系统的参数、结构和初始条件有关，与外作用无关，因此，分析系统响应中暂态分量的运动形式，即可找出系统稳定的充分必要条件。系统的稳定性是系统回复到平衡状态的能力，与外作用无关,是系统本身的固有特性,它决定扰动消失后,暂态分量消减与否。2020年2月25日5写成零极点形式：nmnnnsspszsksnjnlnlnlljmiig,2,)2()()()(211122112211222121)(1)()(nlnlnlllnllnlllnjjjssspsAssCteteeAtclnltnlllnltnllnjtpjnllnllj212111sin1cos)(221系统的脉冲响应：线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。2020年2月25日6如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定mIeRS平面2020年2月25日7三、系统稳定的必要条件令控制系统特征方程为0,001110＞　aasasasannnn022022222221211221022111121022112122aasassaspspsajasjasjasjaspspsa、ja、ja，、p、p即为都为正值，则上式改、、a和a、、p其中p为复数根。为实数根设2121、写2020年2月25日8结论：系统稳定的必要条件：特征方程中各项系数均为正值，且无零系数。由于上式等号右方所有因式的系数都为正值，因而它们相乘后S的多次项系数必然都为正值，且不会有零系数出现。注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。2020年2月25日9对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。,,01001aasasa10,aa对于二阶系统，2022112,1012224,0aaaaasasasa只有都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）210,,aaa对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。系统稳定的必要条件：对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统，特征方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而非充分条件。2020年2月25日10第六节劳思—赫尔维茨稳定性判据（一）、劳思判据设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为：特征方程的全部系数为正值；由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…项系数组成第二行为2，4，6，…项系数组成0,001110＞　aasasasannnn102113212321343212753116420feedddcccbbbbaaaaaaaasssssssnnnn2020年2月25日11102113212321343212753116420feedddcccbbbbaaaaaaaasssssssnnnn,aaaaab,aaaaab,aaaaab1706131504121302110,001110＞　aasasasannnn2020年2月25日12102113212321343212753116420feedddcccbbbbaaaaaaaasssssssnnnn,bbaabc,bbaabc,bbaabc141713131512121311依次类推。可求得,...)2,1,...(,,igfeiii2020年2月25日13劳思判据:设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为：特征方程的全部系数为正值；由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；0,001110＞　aasasasannnn2020年2月25日14[例]：系统的特征方程为：054322345sssss012345ssssss5932595.15.0532411-130（2）1（）329劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。2020年2月25日15[例]：特征方程为：，试判断稳定性。0012233asasasa[解]：劳斯阵为：0123ssss0203120213aaaaaaaaaa稳定的充要条件为：0123,,,aaaa00321aaaa均大于零且2020年2月25日16两种特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：一、劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。结论：如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示方程中有一对共轭虚根存在；如果第一列系数中有符号变化，其变化的次数等于该方程在S平面右半面上根的数目。2020年2月25日17[例]：0122234ssss01234sssss1221)(02211122令则故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。220122,222020年2月25日18例已知系统的特征方程为0233ss试用劳斯判据确定方程式的根在S平面上的具体分布解：列劳斯表2s2-3-02003-10123sss结论：有两个根在S的右半平面,一个根在左半平面。2020年2月25日19二、劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。例如:502548242)2)(25)(4(2345221ssssssss)4(22s[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程一般为偶次数的。2020年2月25日20[例]：0161620128223456ssssss0123456sssssss831830016122016122162081168168130380辅助方程为：，求导得：，或，用1，3，0代替全零行即可。033ss16122sP24ss248sP3ssdsd2020年2月25日21从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：,0)4)(2(22ss2,24,32,1jsjs此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。j；j；j1s2s2s6、54、32、10161620128223456ssssss2020年2月25日22例用劳斯判据检验下列方程041310223sss是否有根在S的右半平面，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方？解：列劳斯表4s12.21081304011320123sss3232102z4z-z-102-104-10102z1zzz有一个根在垂直线S=-1的右方。代入方程又令1zs没有根在S的右半平面。322(1)10(1)13(1)40zzz2020年2月25日23（三）劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用一、判定控制系统的稳定性[例3-4]系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。05432234ssss[解]：排列劳斯阵如下：560514253101234sssss因为，，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。)4~0(,0iai2020年2月25日24[例3-6]系统的特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。04623482422345sssss[解]：劳斯阵如下0004648223241345sss行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：3s2324)(或46482)(2424sssQsssQ其导数为：将4,48或1,12代替行，可继续排列劳斯阵如下：sssQ484)(33s002300100231201212324123241012345ssssss因为行全为零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定)5~0(,0iai1,230)1)(23(,0)(4,32,122jsjssssQ，有令3s2020年2月25日25设剩余的一个根为-p。则：，整理得：0)2324)((24ssps0232324242345pspsspss比较系数得：-p=-2极点分布如下：23j23j1j1j2注意：劳斯判据实际上只能判断代数方程的根是在s平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴上的根要用辅助方程求出。若代数方程有对称于虚轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有变号，并可由辅助方程求出2020年2月25日26二、分析系统参数变化对稳定性的影响利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K,则使系统稳定的最大K称为临界放大系数。pK[例3-7]已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。)5)(3(sssk[解]：闭环传递函数为：ksssksssksssks158)5)(3(1)5)(3()(23特征方程为：015823ksss2020年2月25日27劳斯阵：kkkssss0812081510123要使系统稳定，必须①系数皆大于0，0k②劳斯阵第一列皆大于01200012008120有kkkk120pk