自控理论 3-6线性系统的稳态误差分析

§3-6线性系统的稳态误差分析一.稳态误差和误差传递函数1.误差的两种定义从输出端定义误差e(t)=c0(t)-c(t)从输入端定义偏差e(t)=r(t)-b(t)①单位反馈系统②非单位反馈系统E(s)=H(s)e(s))(lim)(lim0ssEteestssr(t)e(t)c(t)G(s)H(s)b(t)2.稳态误差定义稳定系统误差的终值。e(t)=e(t)r(t)e(t)c(t)G(s)一般系统)()()()()(11)(sRssRsHsGsEe误差传递函数)()(11)()()(sHsGsRsEse有关及开环传递函数与输入)()()()()(1)(lim)(lim00sHsGsResHsGssRssEessssssR(s)E(s)C(s)G(s)H(s)二.系统类型设开环传递函数为111111n21m21sTTsTssssKsHsGsRKsssRssKsTsTssTsTssRsHsGsssEesmnnsssss101111000lim111111lim1limlimKRe(s)ss的因素：影响按稳态误差划分的型：上式表明，影响稳态误差的因素是开环增益、输入信号及开环传递函数中积分环节的数目。因此在研究稳态误差时，按系统开环传递函数中积分环节的个数分类，对于随动系统，主要考虑它的跟随性能，即要求系统输出能准确复现输入，而扰动作用放在次要位置，所以在研究随动系统的稳态误差时，主要是各种输入信号下的跟踪能力。而对于恒值系统，主要考虑它的抗干扰能力，因此其输入信号主要来源于外部扰动。系统。型型型分别称为时当2,1,0,,2,1,0扰动误差传递函数对调节系统0)(sR扰动误差传递函数即HGGHGsNsEssNssNHGGHGsEsBsBsRsEenennn2122121)()()()()()(1)()()()()()()()()()(sNssRssEeneR(s)E(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)N(s)+B(s)R(s)与N(s)共同作用时用终值定理计算)]()()()(lims[)(lim0s0ssNssRsssEeeness终值定理的应用条件:sE(s)的极点均在左半s平面(包括坐标原点)。jj能用不能用三.给定输入信号下的稳态误差1.r(t)=A·1(t)时的ess与KpsAsRtAtr)(),(1)(sAsHsGsssEessss)()(1lim)(lim00)()(lim10sHsGAs静态位置误差系数令)()(lim0psHsGKs0,)1)(1()1)(1(lim,11,)1)(1()1)(1(lim,021210p21210pssssssesTsTsssKKKAeKsTsTssKKp1KA结论:0型系统在阶跃输入作用下有误差,常称有差系统。0,)1)(1()1)(1(lim,11,)1)(1()1)(1(lim,021210p21210pssssssesTsTsssKKKAeKsTsTssKK。必须要使对阶跃输入可要使1,0,,,sssseKe2.r(t)=At时的ess与Kv2,sAsRtAtrsHssGsAsAsHsGsessss020lim1limsHssGAs0limKAeKsTsssKKesTssKKssssss,)1()1(lim,1,0)1()1(lim,0110V110V0,)1()1(lim,2110VsssesTsssKKvKA.lim0V静态速度误差系数令sHssGKs结论:0型系统不能跟踪斜坡输入；1型可跟踪，但有与K有关的误差；2型及以上在斜坡输入下的ess=0。KAeKsTsssKKesTssKKssssss,)1()1(lim,1,0)1()1(lim,0110V110V0,)1()1(lim,2110VsssesTsssKK3.r(t)=0.5At2时的ess与Ka结论:0型和1型系统不能跟踪抛物线输入,2型可跟踪但有误差,3型及以上系统才能准确跟踪。32,2sAsRtAtrsHsGsAsAsHsGsessss2030lim1lim静态加速度误差系数令)()(lim20sHsGsKsa0,,3,,2,0,1,0,0ssassassassaeKKAeKKeKeKaKAK静态误差系数系统类别22)(tAtr)(1)(tAtrAttr)(0型1型2型KpKvKap1KAessvKAessassKAe∞0K00A1+K∞AK∞∞∞K0AK∞00小结：1.2.3.Kp=?Kv=?Ka=?啥时能用表格？非单位反馈怎么办？表中误差为无穷时系统还稳定吗?【例3-13】当输入r(t)=4+6t+3t2时,试分别求出两个系统的稳态误差。解:(a)系统为1型125.05.2410sssssG5.2,1KassaKKKeKKKK66140,5.2,VpVp图3-37125.015.24110)(22sssssssG4.266145.2,,VpVpassaKKKeKKKK解:(b)系统为2型则,5.2,2Kr(t)=4+6t+3t2四.扰动稳态误差)()()(1)(212sNssNHGGHGsEenn扰动误差)(1lim)(lim21200sNHGGHsGssEesnssn扰动稳态误差R(s)E(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)N(s)+B(s)1.阶跃扰动n(t)=A·1(t))0()0()0(1)0()0()()()(1)()(lim2122120snHGGAHGsAsHsGsGsHssGes当G1(0)G2(0)H(0)1时01snGAe。但会使系统稳定性降低则若,,)()1(1111snsneKKAeKsG0lim)2(1011sKAesKsGssn则若可见,要在n(t)=A·1(t)下使ess=0,应在误差信号与扰动作用点之间至少应设置一个积分环节。01GAesnR(s)E(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)N(s)+B(s)2.斜坡扰动n(t)=At)(lim1lim1022120sGsAsAsHsGsGsHssGesssn0)()2()()1(211111snsnesKsGKAesKsG则若；则若可见,要在n(t)=At下使ess=0,应在误差信号与扰动作用点之间至少应设置两个积分环节。但会降低系统的稳定性。总结:(1)esn只与扰动作用点之前的G1有关。比例积分调节器令sKsGi1111(2)一般n(t)多为阶跃信号,故常在G1(s)中设置一个积分环节。01snsneeK1101)(lim,)(0)0(,)(1)(KAssGAeAttnGAetAtnissnsn时当时当五.用动态误差系数法计算ess静态误差系数法只反映误差极限值,动态误差系数法可研究任意输入信号引起的误差随时间的变化规律.)()(11)()()(sHsGsRsEse2)0(!21)0()0()(ssseeee)()0(!1)()0(!21)()0()()0()()(2sRslsRsssRsRsElleeee将e(s)在s=0的邻域内展开成泰勒级数。给定误差传递函数上述误差级数收敛于s=0的邻域，相当于在t→∞时成立。对上式取拉氏反变换，得稳态误差的时域表达式)()0(!1)()0(!21)()0()()0()()(trltrtrtrtelleeeess)1003()2,1,0()0(!1)(iiCiei令动态误差系数稳态误差)()()()()()()(0)(210trCtrCtrCtrCtrCteiiillssC0为动态位置误差系数;C1为动态速度误差系数;C2为动态加速度误差系数。当系统阶次较高，用式(3-100)确定误差系数Ci不方便,可采用如下简便方法。将e(s)写成按s多项式比值形式(按s的升幂排列),用长除法得到一个s的升幂级数。e(s)=C0+C1s+C2s2+C3s3+‥‥于是有E(s)=e(s)R(s)=(C0+C1s+C2s2+C3s3+‥‥)R(s)例：已知单位负反馈系统开环传函G(s),若r(t)=sin5t,求ess(t)。)11.0(100)(sssG解221.01001.0)(11)()()(sssssGsRsEse32000019.00009.001.0sss)(000019.0)(0009.0)(01.0)()()(32sRssRsssRsRssEe)(000019.0)(0009.0)(01.0)(trtrtrtessttrttrttrttr5cos125)(5sin25)(5cos5)(5sin)(ttttess5cos0024.05sin0225.05cos05.0)(【例3-14】已知两系统的开环传递函数分别为解：求误差系数,1510,1102211ssHGssHGsstAeetAtAAtr求,)(322211010,12121KK开环放大倍数0,10,2121pp21aaVVKKKKKKK两系统静态误差系数相同。1.,099.0,49.0,1.0,0099.049.01.051051132103222222ccccsssssssHGse,019.0,09.0,1.0,0019.009.01.0101132103222111ccccsssssssHGse221021)(,03tAtAAtreessttA时取计算两系统动态误差系数不相同。2.3.,21)(32210tAetAtAAtr221021)(tAtAAtr对系统1：221)(,)(AtrtAAtr)()()(210trctrctrcess22149.01.0AtAAess则对系统2:22109.01.0AtAA六.减小稳态误差(esr、esn)的措施1.增大开环增益K或增大扰动作用点之前的前向通道增益K1。2.增加开环积分环节个数或增加扰动作用点之前的前向通道的积分环节个数。3.采用复合控制.(1)按给定信号补偿的复合控制sRGGGGsCsRsE21r211）（若满足1073)(1)(2rsGsG0)(sE则212r11GGGGGsRsCs给定作用实现完全不变性的条件。图3-38(2)按扰动信号补偿的复合控制sNGGGGGsCsE2