§3.1.2两角和与差的正切公式

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【学习要求】1．能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．§探究点一两角和与差的正切公式的推导：问题1、你能根据同角三角函数基本关系式tanα＝sinαcosα，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？答当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ.当cosαcosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan(α－β)＝tanα＋tan－β1－tanαtan－β＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.说明：1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα或tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母异”．由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．问题2在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答在公式T(α＋β)，T(α－β)中α，β，α±β都不能等于kπ＋π2(k∈Z)．探究点二两角和与差的正切公式的变形公式两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，这些变式在解决某些问题时是十分方便的．练习1：直接写出下列式子的结果：(1)tan12°＋tan33°1－tan12°tan33°＝________；(2)tan75°＝________；1145tan33tan12tan133tan12tan00000）（323311332tan4530tan1tan45tan3075tan00000）（说明：T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．12＋3整体思想例1：求下列各式的值：33)-130tan1545tan(tan1545tan1tan1545tan15tan115tan-1000000000）解（15tan115tan-1001）（（3）tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.(2)3＋tan15°1－3tan15°；解(2)原式＝tan60°＋tan15°1－tan60°tan15°＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°＝33＋11－33＝2＋3.（3）tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.＝tan60°(1－tan20°tan40°)，∴原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.方法二∵tan20°tan40°＝1－tan20°＋tan40°tan20°＋40°＝1－13(tan20°＋tan40°)，∴原式＝tan20°＋tan40°＋3－(tan20°＋tan40°)＝3.解（3）方法一∵tan20°＋tan40°小结公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．例1：求下列各式的值：变式训练1、求下列各式的值：(1)cos75°－sin75°cos75°＋sin75°；(2)tan36°＋tan84°－3tan36°tan84°.解(1)原式＝1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－3tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－3tan36°tan84°＝tan120°＝－3.0075tan3tan753-13）（1-45-tan75-30tan75tan30tan175tan-30tan75tan33175tan-333000000000）（）原式（例2已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．解∵3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，∴3(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33，∴tan(A＋B)＝－33.又∵0A＋Bπ，∴A＋B＝5π6，∴C＝π6，∵tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，tanC＝33，∴tanB＋33＋tanB＝3，tanB＝33，∴B＝π6，∴A＝2π3，∴△ABC为等腰钝角三角形．小结三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．课堂练习1．若tan(π4－α)＝3，则tanα的值为()A．－2B．－12C．12D．2解析tanα＝tanπ4－π4－αB＝1－tanπ4－α1＋tanπ4－α＝1－31＋3＝－12.2．已知α＋β＝45°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为()A．1B．2C．－2D．不确定解：(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝1＋(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.B3.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.。求（、已知思考题tantan,31)sin(,21)sin4解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.5121125sincoscossintantan1．公式T(α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等．凑出相应公式。要特别注意tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα，tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα.3．公式T(α±β)的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.体现了整体意识。tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)（4）条件求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．（5）解决给值求角(值)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．为方便起见，公式称为和角公式，公式称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？C(α－β)C(α＋β)T(α－β)S(α＋β)S(α－β)T(α＋β))()()(,,TCS)()()(,,TCS练习．已知tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则tanα＋β2＝________.解析tanα＋β2＝tanα－β2＋β－α2＝tanα－β2＋tanβ－α21－tanα－β2tanβ－α2＝12＋－131－12×－13＝17.17