三角函数公式(最全)

正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）一、定义公式二、函数关系锐角三角函数任意角三角函数1、倒数关系2、商数关系3、平方关系三角函数公式三角函数公式三、诱导公式1、设α为为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：2、设α为为任意角，π+α与α的三角函数值之间的关系：3、设α为为任意角，—α与α的三角函数值之间的关系：4、设α为为任意角，π—α与α的三角函数值之间的关系：5、设α为为任意角，2π—α与α的三角函数值之间的关系：6、设α为为任意角，π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：口诀：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。四、基本公式2、和差化积口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．1、和差角公式二角和差公式三角和公式3、积化和差四、基本公式4、二倍角公式5、三倍角公式6、四倍角公式7、五倍角公式证明sin3a=sin(a+2a)=sin^2a·cosa+cos^2a·sina=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos^2acosa-sin^2asina=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin^2a)=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos^2a-3/4)=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得：tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)四、基本公式8、n倍角公式应用欧拉公式上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：所以其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而9、半角公式正负由α/2所在的象限决定10、万能公式11、辅助角公式证明由于tanφ=b/a，显然α≠0，且五、其他公式1、正弦定理在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有：2、余弦定理对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：3、降幂公式sin²α=[1-cos(2α)]/27、傅里叶级数傅里叶级数又称三角级数cos²α=[1+cos(2α)]/2tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]4、三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)5、幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数，这种级数称为幂级数。6、泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法实用幂级数：f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dxan=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dxex=1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈Rln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k,x∈(-1,1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…,x∈Rcosx=1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…,x∈Rarcsinx=x+x3/(2*3)+(1*3)x5/(2*4*5)+(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…,x∈(-1,1)（!!表示双阶乘）arccosx=π/2-[x+x3/(2*3)+(1*3)x5/(2*4*5)+(1*3*5)x7/(2*4*6*7)……],x∈(-1,1)arctanx=x-x3/3+x5/5-…,x∈(-∞,1)sinhx=x+x3/3!+x^/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…,x∈Rcoshx=1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…,x∈Rarcsinhx=x-x3/(2*3)+(1*3)x5/(2*4*5)-(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…,x∈(-1,1)arctanhx=x+x3/3+x5/5+…,x∈(-1,1)f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…正弦定理变形可得：