专题--多面体的外接球问题--彭中富

专题多面体的外接球问题重庆市第四十九中学彭中富一、基础知识巩固（一）球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心性质2:球心和截面圆心的连线垂直于截面．性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r下面的关系:A22rRd（二）球体的体积与表面积343球VR①24球面SR②（三）球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个。多面体的外接球多面体的内切球外接球球心到各顶点的距离相等(R)内切球球心到各面的距离相等(r)球体的体积与表面积(一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）二、经典模型：:直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任题型意三角形）步骤：二、经典模型：1212确定球心O的位置，即在上下底面小圆圆心连线OO上，第一步为O：且O的中点22112222222OAOOhhRrRr2勾股定理：第步：OA三1111=,;22rOOAAh1计算出小圆的半径AO第二步:例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是.a解：设底面边长为2424SR24222222=16222246VahaRRDBA1A1BC1C1D111120ABCABC1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA=2，BAC=，则此球的表面积等于（）22223,2324,2,sin1201520BCrrRrRS解：由余弦定理得A1C1BBC1A20(二)对棱相等模型题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD），求外接球问题二、经典模型：画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线的对棱(面对第一步：角线)；步骤：2222222222222222228abxxyzbcyRabcaczxyzR222设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出，第：方程二步例3：三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）ABCD222222292942216292abbcRabcacS222解：设长方体的长宽高分别为a,b,c.列出方程：292（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）二、经典模型：解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：22222222abcRabcR2例题4：（1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，其外接球的表面积是.3解：22222923334RR249SR9CBDA（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1正方形，则该几何体外接球的体积.222233211124332解：RRVR(四)垂面模型题型1:PAABC平面（侧棱垂直于底面的棱锥）ABC将画在小圆面上，以A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必第一步：过球心O1111()OABCOOABCOODrr为的外心，所以平面，计算出小圆的半径利用正弦定理计第步：算可得二2221RrOO利用勾股定第三步：理即可：二、经典模型：,3=23SABCSAABCABCSA例5：三棱锥中，侧棱平面底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于（）2222332213,4sin60432233解：rRRRVRASCB32311确定球心O的位置，取ABC的外心O，则P,第一O,O三步：点共线；PABC题型2：三棱锥的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上11,;AOrPO1第二步：先计算出小圆O的半径，再算出棱锥的高22211222,OAOAOORhRrR勾股定理第三步：：解出2sinaRa为棱长，为侧棱与底方法二：面所成角32SABCABC例6：正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于（）233:12432331327324243232sin60327332解的外接圆的半径为，三棱锥的直径为方法二：ABCSABCRRRVRRRVR(五)折叠模型题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠二、经典模型：1OCHR1122211解OEH，算出OH，在RT中，勾股第三步：OH+即CH定理=可：12'BCDBCDABDHH先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心第：和一步12过H和H分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE第二步：,OC;60BADBCD例7：棱形ABCD的边长为2，且,将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面A'BD平面，则三棱锥A'-BCD的外接球的半径为（）CDBA121222222124222,sin60331515333:rrrrOHROHrR解120BCDBCD“平面A'BD平面”改为“平面A'BD与平面所成角为”则三棱锥A'-BCD的外接球的半径为（变式：）133R课堂小结1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；2、三组对棱分别相等型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；课堂小结4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？课堂小结利用勾股定第三步：理即可：111();OOODrr找底面多边形外接圆的圆心，计算出小圆的半径利用正弦定理第：计算可得一步1111=2()OOOOOOhh过作底面，为球心且为第步：椎体的高二也可补成直棱柱，安汉堡型进方法二：行求解。5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？111();OOODrr找底面多边形外接圆的圆心（顶点在底面的投影），计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）（2）在高线上取一点作为球心；O利用勾股定理求出（3）半径即可6、折叠问题（对称性）,如何找外接球的半径呢？12();OOrr找两底面多边形外接圆的圆心、，计算出小圆的半径利用正弦定理计算（可得1）O12在过小圆圆心O,O作两面的垂线，两高线交点为（）球心2；利用勾股定理求出（3）半径即可正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．强化训练1.432.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为()2.A3.B4.C34.DD再见！3、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于（）4.A8.B16.C24.DC4、四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=32,BD=6则该球的表面积为()14.A15.B16.C18.DA5、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面602132,BACACABSAABCSA则球O的表面积为（）4.A12.B16.C64.DC6、已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA,PB,PC两两垂直，当ABPC取最大值时，三棱锥O-PAB(O为球心)的高为（）33.A22.B2.C32.DB7、在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________438、某几何体的三视图如图所示，若该几何体各顶点都在一球面上，则这个球的表面积为___________21169、已知三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为_____3310、三棱锥S-ABC中，SACSAB,AB=AC,SA=SB=2，侧棱AS与底面ABC所成的角为60，经过S,A,B,C四点的球的球心在三棱锥内，求这个球的体积32327