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角平分线一课一练·基础闯关题组角平分线的性质定理和判定定理1.(2017·台州中考)如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是()A.1B.2C.错误!未找到引用源。D.4【解析】选B.作PE⊥OA于点E,∵点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=2,即点P到边OA的距离是2.2.(2017·胶州市期中)如图,OC是∠AOB的平分线.D,E分别是OA,OB上的点,则下列条件中不能判定△OCD与△OCE全等的是世纪金榜导学号10164032()A.∠OCD=∠OCEB.CD⊥OA,CE⊥OBC.OD=OED.CD=CE【解析】选D.当∠OCD=∠OCE时,∵错误!未找到引用源。∴△OCD≌△OCE(ASA),故A能判定△OCD与△OCE全等;当CD⊥OA,CE⊥OB时,由AAS可得到△OCD≌△OCE,故B能判定△OCD与△OCE全等;当OD=OE时,由SAS可得到△OCD≌△OCE,故C能判定△OCD与△OCE全等;D不能判定△OCD与△OCE全等.3.(2017·崇仁月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【解析】选B.∵BE平分∠ABC,DE⊥AB,∠ACB=90°,∴ED=EC,∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm.4.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=2,则EF=________.世纪金榜导学号10164033【解析】作EG⊥OA于G,如图所示:∵EF∥OB,∠AOE=∠BOE=15°∴∠OEF=∠COE=15°,EG=CE=2,∵∠AOE=15°,∴∠EFG=∠OEF+∠AOE=15°+15°=30°,∴EF=2EG=4.答案:4【方法指导】当题目中出现角平分线或平分某个角,且求点到直线的距离或两直线间距离时,应添加适当的辅助线,运用角平分线的性质定理求解.5.(2017·濮阳期末)如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积为36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE的长.【解析】作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴错误!未找到引用源。BC·DF+错误!未找到引用源。AB·DE=36,∴DE=DF=错误!未找到引用源。.6.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.世纪金榜导学号10164034【证明】∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△BDE和△CDF是直角三角形.又错误!未找到引用源。∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是△ABC的角平分线.【知识归纳】角平分线的性质与判定的区别与联系内容图示符号语言作用性质在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等∵点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE证明两条线段相等判定在一个角的内部,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上∵PD⊥OA,PE⊥OB且PD=PE,∴∠AOP=∠BOP证明两个角相等题组作一个角的平分线1.观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是()A.OE是∠AOB的平分线B.OC=ODC.点C,D到OE的距离不相等D.∠AOE=∠BOE【解析】选C.根据尺规作图的画法可知:OE是∠AOB的角平分线,OC=OD,∠AOE=∠BOE,点C,D到OE的距离相等,故A,B,D项均正确,C项错误.2.(2017·邵阳中考)如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图:①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于错误!未找到引用源。DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC.则∠AOC的大小为________.【解析】由作图知,OC平分∠AOB,∴∠AOC=错误!未找到引用源。∠AOB=20°.答案:20°3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法).(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.【解析】(1)画图如下:(2)∵AB=AC,∠ABC=72°,∴∠ACB=∠ABC=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=36°,∴∠BDC=72°.4.有位于公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B,如图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)世纪金榜导学号10164035【解析】根据题意知道,点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE.(2)作线段AB的垂直平分线FG;则射线OD,OE与直线FG的交点C1,C2就是所求的位置.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是()世纪金榜导学号10164036A.8B.6C.4D.2【解析】选C.过点P作PE⊥BC于点E,∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,∴PA=PD=4,∴PE=4.【母题变式】(2017·诸城市期末)如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为()A.3B.5C.6D.不能确定【解析】选C.作PF⊥AD于F,PG⊥BC于G,∵AP是∠BAD的平分线,PF⊥AD,PE⊥AB,∴PF=PE=3,∵BP是∠ABC的平分线,PE⊥AB,PG⊥BC,∴PG=PE=3,∵AD∥BC,∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6.[变式一]如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且AD⊥AB,求证:BC=AB+CD.【证明】在BC上取点F,使BF=BA,连接PF,∵BP,CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线,∴∠ABP=∠FBP,∠DCP=∠FCP.在△ABP和△FBP中,∵AB=FB,∠ABP=∠FBP,BP=BP,∴△ABP≌△FBP,∴∠A=∠BFP.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∴∠BFP+∠D=180°.∵∠BFP+∠CFP=180°,∴∠CFP=∠D.在△CDP和△CFP中,∵∠CFP=∠D,∠FCP=∠DCP,CP=CP,∴△CFP≌△CDP,∴CF=CD.∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD.[变式二](2017·澧县期中)如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.(1)求证:OC平分∠ACD.(2)求证:OA⊥OC.(3)求证:AB+CD=AC.【证明】(1)过点O作OE⊥AC于E,∵∠ABD=90°,OA平分∠BAC,∴OB=OE,∵点O为BD的中点,∴OB=OD,∴OE=OD,∴OC平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中,∵AO=AO,OB=OE,∴Rt△ABO≌Rt△AEO,∴∠AOB=∠AOE,同理求出∠COD=∠COE,∴∠AOC=∠AOE+∠COE=错误!未找到引用源。×180°=90°,∴OA⊥OC.(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO,∴AB=AE,同理可得CD=CE,∵AC=AE+CE,∴AB+CD=AC.