数学分析课件PPT之十一章反常积分

第十一章反常积分11.1反常积分概念11.2无穷积分的收敛性质与判别11.3瑕积分的性质与收敛判别11.1反常积分概念一、引例二、两类反常积分的定义一.引入例：曲边梯形”的面积。，右边所围成的“开口轴及直线求曲线1,12xxxy0xy1b2x1y解：由于这个图形不是封闭的曲边梯形,而在x轴的正方向是开口的，即这时的积分区间为[1，+∞），bxdxxAbbb11]1[1,1121的面积为则故显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，1)11(lim1lim21bdxxbbbb时，即故则所求曲边梯形的面积为1二、两类反常积分的定义.定义1:设函数f(x)在区间[a,+)上连续,取ba,如果极限babdxxf)(lim存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的无穷限反常积分,记作即,)(adxxfbabadxxfdxxf)(lim)((1)这时也称无穷积分收敛;若上述极限不存在,就称无穷积分发散,这时记号不再表示数值了。adxxf)(adxxf)(adxxf)(例如：bbdxxdxx020211lim11bbx0arctanlimbbarctanlim2oyxb211xy1类似地,设函数f(x)在区间(,b]上连续,取ab,如果极限baadxxf)(lim存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间(,b]上无穷积分,记作,baabdxxfdxxf)(lim)((2)这时也称无穷积分收敛;若上述极限不存在,就称无穷积分发散.bdxxf)(bdxxf)(bdxxf)(即设函数f(x)在区间(,+)上连续,00)()(dxxfdxxf和都收敛,则称上述两无穷积分之和为函数f(x)在区间(,+)上无穷积分.记作,即dxxf)(00)()()(dxxfdxxfdxxfbbaadxxfdxxf00)(lim)(lim(3)dxxf)(这时,也称无穷积分收敛;否则就称无穷积分发散.dxxf)(如果无穷积分解：02022111xdxxdxxdxbbaadxxdxx020211lim11limbbaaxx00arctanlimarctanlimbabaarctanlimarctanlim2)2(注:为方便起见,把.)()(limababxFxF记作abo211xyxy.112xdx：计算无穷积分例解:bptbptdttedtte00limbptbptbdtepept001lim0201ptptepept)10(10lim12ptepptt21p).0,(:20ppdttept且是常数计算无穷积分例.1,1时发散当时收敛当pp证:当p=1时aaapxxdxxdxln1,11,1111ppappxdxxpapap当p1时).0(:3axdxap证明无穷积分例.1,11papp其值为时收敛当.1时发散当papxdx所以无穷积分练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.111411(1)(2)(3)xedxdxdxxx解：bbxxbeedxe1)1(1111lim1)1(limbbbbee111xxedxedx故收敛，且313413131311)2(bxdxxbb31b1lim3131)b3131(lim3b3b31114141dxxdxx收敛，且故dxxdxxbb1lim1)3(11222111bxdxxbb又)2b2(limb发散故dxx11练习2：计算无穷积分20(1)xxedx解(1):21)10(21]e21[dxxe0xx0221lnexdxx（2）练习4：求下列无穷积分：dxedxxexx02)2()1(2定义2:设函数f(x)在区间(a,b]上连续,而在点a的右邻域内无界,取0.如果极限badxxf)(lim0存在,则称此极限为无界函数f(x)在(a,b]上的反常积分.即仍然记作,)(badxxfbabadxxfdxxf)(lim)(0(4)这时也称反常积分收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分发散.badxxf)(badxxf)(类似地,设函数f(x)在区间[a,b)上连续,而在点b的左邻域内无界,取0.badxxf)(lim0存在,则定义如果极限babadxxfdxxf)(lim)(0(5)否则,就称反常积分发散.badxxf)(设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(acb)外连续,而在点c的邻域内无界,如果两个广义积分bccadxxfdxxf)()(与都收敛,则定义bccabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)(lim)(lim00(6)否则,就称反常积分发散.badxxf)(2201lim:xaax因为解所以,x=a为被积函数的无穷间断点.于是:aaxadxxadx0220022limacaxarcsinlim0acaa0arcsinlim021arcsinoyxaaa1221xay图5-7-1)0(:4022axadxa计算反常积分例,0]1,1[1)(:2外连续上除在积分区间被积函数解xxxf且201limxx由于01200121lim1dxxdxx101limx)11(lim0112012.,发散所以广义积分发散即广义积分xdxxdx.:5112的收敛性讨论反常积分例xdx当q1时,收敛;当q1时,发散.证:当q=1时babaqaxdxaxdx)(baaxdx0limbaax)ln(lim0]ln)[ln(lim0ab)(:6baqaxdx证明反常积分例当q1时,baqaxdx)(baqaxdx)(lim0baqqax1)(lim10qqabq110)(11lim1,1,1)(1qqqabq因此,当q1时,反常积分收敛,qabq1)(1其值为当q1时,广义积分发散.baqaxdx)(baqaxdx)(例7计算反常积分.ln21xxdx解21lnxxdx210lnlimxxdx210ln)(lnlimxxd210)ln(lnlimx))1ln(ln()2ln(lnlim0.故原反常积分发散..)0(110的收敛性讨论瑕积分pdxxp例8.解:),10(1,ln,1),1(111110upupupdxxpp被积函数f在(0,1]上连续,x=0是瑕点.由于.且瑕积分收敛时故当，，p10;111lim11010upuppdxxdxx.1瑕积分发散于时当，P.)1(3032xdx1x瑕点解3032)1(xdx103132)1()(xdx1032)1(xdx10032)1(limxdx33132)1(xdx31032)1(limxdx,2333032)1(xdx).21(33例9计算反常积分注意反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。反常积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。如无穷限积分aaFFdxxf)()()(bFbFdxxf)()()(aavduauvudv)(再如瑕积分)0()()(aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfbabacabcdxxfdxxfdxxf)()()()()0()0()(aFcFcFbFbabavduabuvudv0)(02)1)(1(1无关并求其值与dxxxI例10证明证dxxxI02)1)(1(1dxxx1012)1)(1(121IIdxxxI1021)1)(1(1)1(tx令dtttt12)1)(1(21IIIdxxxdxxxx1212)1)(1(1)1)(1(41112dxx四.小结(1)无穷积分和瑕积分的定义;(2)无穷积分和瑕积分收敛与发散的定义;(3)无穷积分的计算：(i).求出函数f(x)的原函数F(x).)(limxFx时，则求出上限为(ii).)(limxFx时，则求出上限为11.2无穷积分的收敛性质与判别一.无穷积分的性质二.无穷积分收敛的判别法一.无穷积分的性质性质１则为任意常数都收敛与若，k，kdxxfdxxfaa2121,)()(且也收敛，dxxfkxfka)]()([2211aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk.)()()]()([22112211性质２b，auaf上可积在任何有限区间若],[且同敛散与则，dxxfdxxfba)()(.)()()(dxxfdxxfdxxfbbaa性质３，dxxf，uafa收敛且上可积在任何有限区间若)(],[且必收敛则，dxxfa)(.)()(dxxfdxxfaa注.)()(为绝对收敛称收敛时当aadxxf，dxxf性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数不一定绝对收敛．我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．二.无穷积分收敛的判别法２，比较原则:)(收敛的充要条件是无穷积分adxxf便有只要,,,,021GuuaG.)(21uudxxf１，柯西准则，gfa积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在),[且满足),[),()(axxgxf２，比较原则，gfa积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在),[且满足),[),()(axxgxf则;)()(收敛则收敛若dxxf，dxxgaa.)()(发散则发散若aadxxg，dxxf推论aadxxgdxxf，ci;)()(0)(同敛散与时当且上可积都在任何有限区间和设,0)(],[x，guagfcxgxfx)()(lim;)()(0)(收敛则收敛若时当dxxf，dxxg，ciiaa.)()()(发散则发散若时当dxxf，dxxg，ciiiaa３，柯西判别法，ua，aaf上可积且在任何有