第五章-大数定律和中心极限定理

第五章大数定律和中心极限定理第二节中心极限定理第二节中心极限定理第五章大数定律和中心极限定理内容摘要：中心极限定理是概率论中最著名的结果之一,它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的方法,而且有助于解释为什么很多自然现象的统计规律服从正态分布这一值得注意的重大事实.(1)为什么正态分布在概率论中占有极其重要的地位？(3)大样本统计推断的理论基础是什么？二、预备知识(2)随机变量之和的分布是什么？一、提出问题随机事件的概率，随机变量的均值、方差.在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响.这些随机因素是相互独立的,而其中每一个个别因素所起的作用都是微小的.这种量一般都服从或近似服从正态分布.三、分析问题例如,炮弹射击的落弹着点与目标的偏差,就受着许多随机因素的影响.如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等.例如，开展物理试验实验所出现的测量误差，等等.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题，解决“总影响”的概率分布问题.一般情况下,很难求出X1+X2+…+Xn分布的确切形式,但当n很大时,可以求出这个和的近似分布.当n无限增大时,这个和的极限分布是什么呢？一般情况下它服从正态分布．在什么条件下极限分布会是正态分布的呢？我们把在一定条件下,随机变量和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.本节只介绍三个常用的中心极限定理.四、建立理论设X1,X2,…,Xn，…,是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=,D(Xi)=,i=1,2,…,n，的标准化变量则随机变量之和1nKkX20μ1111nnnkkkkkknnkkXEXXnYnDX1.独立同分布中心极限定理定理1（独立同分布中心极限定理）讲评n个独立同分布的随机变量,不论原来服从什么分布,当n充分大时,其和的标准化随机变量可认为是近似地服从标准正态分布.1lim()lim{}niinnnXnFxPxn≤2-t2-1edt().2xx的分布函数，对于任意x满足nFx证明略.(2.1)这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.1~(0,1).nkkXnNn(2.2)或者变形，得到随机变量和的近似分布：21~(,).nkkXNnn(2.3)将(2.2)式左端改写成,这样,上述结果可写成:11//nkkXXnnn设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,E(Xi)=,D(Xi)=,i=1,2,…,n，20则随机变量的算术平均,当n充分大时,近似成立定理1′（独立同分布中心极限定理）~(0,1)./XNn或者2~(,).XNn(2.4)(2.5)X方差为的独立同分布的随机变量这就是说,均值为,20X1,X2,…,Xn的算术平均11,nkkXXn当n充分大时近似地服从正态分布这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.X2(,).Nn~五、方法应用例1用机器把口服液装瓶.由于机器会有误差,所以每瓶的口服液净重为随机变量,期望值为100g,标准差为10g.一箱内装200瓶,求一箱口服液净重大于20500g的概率.解设一箱口服液净重为Xg,箱中第i瓶净重为Xi(i=1,2，…,200),显然诸Xi独立同分布,且E(Xi)=100,D(Xi)=102(i=1,2,…,200).{20500}1{20500}PXPX≤2001200100205002001001{}2002001010iiXP≤11()22=0.0002.由独立同分布中心极限定理知记,2001iiXX则所求概率为P{X20500}.讲评“净重大于20500g的概率”是随机变量和的概率问题,利用和标准化后用独立同分布中心极限定理求解.例２某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时,标准差为200小时.经过技术改造使平均寿命提高到2250小时,标准差不变.对其进行检验,方法如下:任意挑选若干只灯泡,如这些灯泡的平均寿命超过2200小时,就承认技改有效.欲使检验的通过率超过0.997,至少应检查多少只灯泡？故{2200}1{2200}220022501200/()PXPXΦn≥2200~2250,.XNn则由独立同分布中心极限定理得,灯泡的寿命,解设取n只灯泡检查，以表示第只iXi近似地解之得211121.n≥故至少应检查121只灯泡才能满足要求.2.75.4n≥查表得10.997.44nn≥讲评(1)“至少应检查多少只灯泡?”是求解随机变量个数的概率问题，“平均寿命超过2200小时”涉及到随机变量算术平均,用独立同分布中心极限定理求解.(2)此题从另外一个角度,可以看作“随机试验设计问题”，即如何设计试验,才可能以比较大的概率满足所设定的条件.(3)此题型是考研题型,应引起读者重视.参见例3.例3一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明:每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977(已知Φ(2)=0.977).解为独立同分布随机变量,而n箱的总重量n是所求箱数.由条件可以把X1,X2,…,Xn视以装运的第i箱的重量(单位:千克),iXTn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和.一节定理3的结论(3)和第四章第二节定理2的结论(4)由条件知E(Xi)=50,=5,由第四章第()iDX根据独立同分布中心极限定理(2.3)式,Tn近似服从正态分布N(50n,25n).由题设条件,应满足50500050{00}{}551000100.97(2).()nnTnnPTPnnnΦΦn≤50≤得E(Tn)=50n,=5.()nDTn解得n＜98.0199,即每辆车最多可以装98箱.根据分布函数Φ(x)的单调递增性,有1000102.nn讲评上述几个例题均是从不同角度考察独立同分布中心极限定理的应用问题,如在例3中将各箱重量视为独立同分布的随机变量,利用独立同分布中心极限定理作随机变量和的正态分布近似计算.记221,nnkkB设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=,D(Xi)=,i=1,2,…2ii22110,nkkknEXB定理2（李雅普诺夫（Liapunov）定理）2.李雅普诺夫（Liapunov）定理使得当n时,若存在正数,的分布函数对于任意x,满足nFx21121limlimed.2nnkkxtkknnnnXFxPxtxB≤则随机变量之和的标准化变量1nkkX11111nnnnkkkkkkkknnnkkXEXXZBDX证明略.近似地服从正态分布21,.nknkNB这就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它1,2,KXk11nnknnkkkXBZ讲评定理2表明,在定理条件下,随机变量11nnkkkknnXZB当n很大时,近似地服从正态分布0,1.N由此,当n很大时,就近似地服从正态分布.们的和当n很大时,1nkkX这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因.在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和,例如,在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、微小误差所合成的,这些总的影响往往近似地服从正态分布.下面介绍另一个中心极限定理,它是定理1的特殊情况.定理3（棣莫佛－拉普拉斯定理）独立同分布中心极限定理的特例设随机变量ηn服从参数为n,p(0p1)的二项分布,则对任意的x,有2212edxttlim{}(1)nnnpPxnpp≤().x正态分布是二项分布的极限分布3.棣莫佛－拉普拉斯定理可分解成为n个相互独立且都服从同一0-1分布的随机变量之和,证:n即有1,nnkkX由于,11,2,,,kkEXpDXppkn由定理1得lim1nnnpPxnpp≤1lim1nkknXnpPxnpp≤221ed.2xttx其中Xk的分布律为11,0,1.iikPXippi此定理的常用形式是,若.11nbnpanpPabnppnppηn～B(n,p),则讲评(1)这个定理表明,正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,我们可以利用(2.7)式来计算二项分布的概率.(2)注意，二项分布也以泊松分布为极限分布.但当n较大,p较小时,泊松定理比中心极限定理更精确一些.例4(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的,且在开工时需电力1千瓦.问:应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?表示在某时刻工作着的车床数，解对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6,共进行200次试验.用X依题意，X~B(200,0.6).现在的问题是：P{X≤N}≥0.999的最小的正整数N.求满足由棣莫佛-拉普拉斯极限定理)1(pnpnpX近似服从N(0,1).于是P{X≤N}=P{0≤X≤N}这里np=120,np(1-p)=48.120120()()4848N由3σ准则，此项为0.120().48N查正态分布函数表得由≥0.999，120()48N从中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产，而不必供应1千瓦×200=200千瓦电力.(3.1)0.999.48120N≥3.1,故讲评此题解法是利用“二项分布以正态分布为极限分布”来简化、近似计算的,若直接用二项分布计算问题“已知Sn～B(n,p),求”也是可以的,但是计算量大.参见教学辅助教材第五章第一节及例5.P{X≤N}≥0.999例5一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于3o的概率为.若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角度大于3o的概率是多少？解我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.13p在90000次波浪冲击中纵摇角度大于3o的次数记为X,则X是一个随机变量,且有.X的分布律为所求的概率为1~(90000,)3XB900009000012{},0,1,,90000.33kkkPXkCk()()90000305009000029500122950030500.33kkkkPXC剟()()要直接计算上式是比较麻烦的.我们利用棣莫弗—拉普拉斯定理来求它的近似值.即计算2305001229500129500305002950030500(1)(1)(1)1ed23050029500.(1)(1)nptnppnpnppnpXnpnpPXPnppnppnpptnpnpnppnpp剟剟()()将n=90000,p=代入上式,得13讲评此题解法是利用“二项分布以正态分布为极限分布”来简化、近似计算的，若直接用二项分布计算也是可以