复变函数

课程名称复变函数ComplexVariables教材复变函数总学时36学时教师姓名李雪艳课程简介对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。复数与复变函数、解析函数、•使用教材:复变函数•杨纶标郝志峰编•科学出版社•参考教材:1.复变函数-内容、方法和技巧(当当网可以买到）•孙清华孙昊•华中科技大学出版社2.ComplexVariablesandApplicationsJamesWardBrownRuelV.Churchill学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数论的发展简况•复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。•复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。•为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。•复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数的应用在baidu上搜索几条关于复变函数在固体力学方面的应用:1.弹性力学中的复变函数方法弹性力学复变函数方法摘要:用复变函数求解弹性力学问题的方法,主要用于求解平面问题...2.唐立民固体力学家、力学教育家。长期致力于弹性理论和计算力学数值方法的研究。早年拓广了弹性力学复变函数方法的应用...这种方法曾被美国《数学文摘》引用,还用于梯形坝应力分布、干船坞底板的实际计算。唐立民在计算机数值方法中最重要的...3.压电磁螺型位错与界面刚性线夹杂的干涉效应AScrewDislocation采用复变函数解析延拓原理,研究了电磁材料中压电磁螺型住错和共线界面刚性线的磁电弹耦合干涉效应并得到该问题的一般解答.作为算例,求出了界面含有一条刚性线时两种压电磁介质区域广义应力函数的封闭形式解.运用扰动技术,求解了位错点的扰...4.哈尔滨工业大学建筑工程学院博士导师刘殿魁简介_..长期从事弹性波散射与动应力集中问题的研究,并首创分析弹性波散射与动应力集中的复变函数与保角映射方法,是经典弹性...《美国应用力学》杂志创刊50周年出版的特刊中曾著文《固体中的弹性波》,评论:“刘殿魁等人首创了用于处理特殊类型散射..5.用复变函数方法求解断裂力学的几个理论问题-固体力学-数理科学和化学力学固体力学强度理论断裂理论【论文摘要】本文研究单一裂纹和周期性裂纹。裂纹类型为最常见也最重要的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ混合型。在论文中用两类不同的复变函数方法推导出了含裂纹体的应力场及位移场的局部解及...6.复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件如Matlab…7.横观各向同性介质中椭圆夹杂受非弹性剪切变形引起的弹性场的确定.本文求解了横观各向同性介质中椭圆夹杂内受非弹性剪切变形引起的弹性场。采用各向异性弹性力学平面问题的复变函数解法,结合保角变换,获得夹杂内应变能和基体内边界的应力分布和相应的应变能的表达式。进一步,根据最小应变能原理,获得表征夹杂...8.反平面弹性中分叉裂纹问题的奇异积分方程解法-根据边界条件建立了以集中位错强度和连续位错密度为未知函数的奇异积分方程。...文中还给出了若干算例,其中的数值结果和图表也可直接用于工程实际中。关键字:分叉裂纹,反平面弹性,奇异积分方程,...复变函数,数值解法,固体力学,断裂力学...第一章复数与复变函数Chapter1ComplexNumberandComplexVariables§1复数及其代数运算§2复数的表示方法§3复数的乘幂与方根§4区域§5复变函数§6复变函数的极限与连续性1.复数的概念2.代数运算3.共轭复数CH1§1复数及其代数运算一般,任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。称为虚单位。其中ii,12•复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)0||22yxz•复数的模0)Im()Re(0,,,222111212121zzziyxziyxzyyxxzz其中•判断复数相等定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2))0(||||222211222212121zzyxyxizyyxxzzz2.代数运算•四则运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.•运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，•共轭复数的性质2121)()1(zzzz2121)(zzzz2121)(zzzzzz)2(2||1zzz2222)Im()Re()3(yxzzzz)Im(2)Re(2)4(zizzzzz3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(complexconjugate).)(,,43,55:1212121及它们的实部和虚部求设例zzzziziz574355:21iiizz解411:2ii求例iii111.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法§2复数的表示方法1.点的表示),,(yxiyxz一对有序实数易见，),(),(),(yxPiyxzyxyxP平面上的点一对有序实数任意点系，则在平面上取定直角坐标此时，表示的点，可用平面上坐标为复数.)(Pyxiyxz平面复平面或—平面虚轴—轴实轴—轴zyx)(yxPiyxz，复平面上的点点的表示：数z与点z同义..},{)(iyxzOPyxOPyxPiyxz表示可用向量，点2.向量表示法00OPzzyxrOPzArg记作辐角模：:,||||22oxy(z)P(x,y)rzxy称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)OP向量辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，xyzz/)Argtan(0时，0把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。z=0时，辐角不确定。0,00,0arctan0,02,0arctanargyxyxxyyxRyxxyz计算argz(z≠0)的公式当z落于一,四象限时，不变。当z落于第二象限时，加。当z落于第三象限时，减。2arctan2xyoxy(z)z1z212121212)(:zzzzzzzz三角不等式由此得由向量表示法知之间的距离与点—2112zzzz3.三角表示法)sin(cosirz得由sincosryrx4.指数表示法得公式再由sincos:ieEuleriirez注意:复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.(1)已知复数的代数表示式,先求出复数的模和辐角,即可化为复数的三角表示.(2)已知复数的三角表示式,利用可化为复数的代数表示式.cossin=||[cos()sin()]zrirzArgziArgz5曲线和平面图形的复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例1用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)（-∞t+∞）2)()2(izxy(z)O(0,-1)2例2方程表示什么图形？3)Re(zi平行于实轴的直线图形为故设3)Re(3)Re()(ziyyziixyiyxiziiyxz解3)Re(zi•例3指出下列各复数方程表示的平面曲线:•(1)(2)•(3)(4)•答案见书P14.0||zzR|2||2|ziz|2||2|8ziziarg()4zi1.复数的乘积与商2.复数的乘幂3.复数的方根§3复数的乘幂与方根定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n个复数的乘积。1oxy(z)1z2z1z22z2izzizz2121,,1.1则设例,2,1,021mmArgz,2,1,0222nnArgz,2,1,022)(21kkzzArgknm22223代入上式要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明)(121212ierrzzzArgz=Argz2-Argz1即：由复数除