复变函数解析函数

第二章解析函数2.1复变函数的概念2.2解析函数的概念2.3解析的充要条件2.4初等函数1.复变函数的定义2.映射的概念3.反函数或逆映射复变函数的概念2.1复变函数的概念、极限与连续性1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似是多值函数.值，称多个是单值函数;值，称一个若)()(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨定义2.1设E是复平面上的点集,若对任何z=x+iyE,都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应,则称在E上确定了一个复变函数，用w=f(z)表示.E称为该函数的定义域.),(),()()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz),(),(yxvvyxuu故),(),()(yxvvyxuuivuzfw(){(),}GfEwwfzzE===?该函数的值域为：xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222则令例1xyvyxuzw2222例222221111)(yxiyyxxzf若已知.)(的函数表示成将zzfzzzf1)()(21),(21,zziyzzxiyxz则设实部等于实部虚部等于虚部oxy(z)Eouv(w)Gw=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：的原象。称为，而映象的象点为称wzzw)(2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.•复变函数的几何意义是一个映射（变换）.所构成的映射研究zw例3iirezreirz)sin(cos设解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)即，)sinsin()sincos())(sin(cosyxiyxiyxiivuw见图2.(实常数）所构成的映射研究zewi例4)(iiiiirereezewrez设解sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o.2所构成的映射研究zw例5oxy(z)ouv(w)2oxy(z)ouv(w)63422yx2zw2zw2zw2zw3.反函数或逆映射例设z=w2则称为z=w2的反函数或逆映射zw)1,0(22kezzwk∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为E，函数值集合为G，那么则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.1.函数的极限2.相关定理3.函数的连续性复变函数的极限与连续性定义2.2设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e0,存在d0,使得对一切满足0|z-z0|d的z,都有()fzAe成立,则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限，并记做0lim()zzfzA或0()().fzAzz注意:定义中zz0的方式是任意的.复变函数的极限几何意义uv(w)oAexy(z)od0z)(zfw几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中相关定理复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf设定理2.10),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz则BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则若定理2.2以上定理用极限定义证!例1.)(22在平面上处处有极限证明yxiyxw例2.0)(时的极限在求zzzzzzf例3.0Re)(时的极限不存在在证明zzzzf在平面上处处有极限22,yxyx.)0,0()(2)(2222处极限不存在在yxyxzf函数的连续性定义2.3.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处连续上点在曲线，则称且、若内连续在内处处连续，则称若在区域处连续在，则称若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。上不连续。在负实轴在负实轴上argarglimarglim)0)(0,()2(00zzzxxPyy故不连续。在原点没有定义，arg)()1(zzf证明xy(z)ozz)0,(xP定理2.5设()(,)(,),fzuxyivxy则f(z)在000zxiy处连续的充分必要条件是(,),uxy(,)vxy都在00(,)xy点连续.定理2.3连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;定理2.4连续函数的复合函数仍为连续函数。.0)()()()(10点外处处连续在复平面内除分母为的；在整个复平面内是连续由以上讨论zQzPzRzazaazPnnMzfMCzfC)(,0)(在曲线上恒有上连续在若内的曲线段为闭曲线或端点包括在设曲线有界性：§2.2解析函数的概念一、复变函数的导数000()()limzzfzfzzz1、导数的定义定义2.4设是定义在区域D上的()wfz存在，则称在点可导,并把这个极()fz0zz限值称为在点的导数，记做0().fz()fz0zz复变函数,z0是区域D内的定点.若极限定义中的极限式可以写为000()()lim,zfzzfzz即当在点可导时,()fz0zz0000()()()limzzfzfzfzzz注意0(0)zzz的方式是任意的.000()()lim.zfzzfzz此时，对D内任意一点z,有0()()()lim.zfzzfzfzz也可用dd(),ddwfzzz等表示在z点的导数.()fz若在区域D内每一点都可导,则称()fz()fz在区域D内可导.则例1设2(),fzz()fz在复平面内处处可导，且()2.fzz解因为zzfzzfzfz)()(lim)(0zzzzz220)(lim0lim(2).zzz22.zz所以例2证明()2fzxyi在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z,有()()fzzfz2.xyi()2()2xxyyixyi故0lim[()()]0.zfzzfz这说明()2fzxyi在复面内处处连续.()()fzzfzz()2()2xxyyixyixyi2.xyixyixyoz0y但是,设沿着平行于x轴的z方向趋向于0,即0,0.xy于是xyoz0y0002limlim1.xxyxyixxyix0x002limxyxyixyi02lim2.yyiyi所以()2fzxyi的导数不存在.设沿着平行于y轴的方向趋向于0,即z0,0,xy2、可导与连续的关系0000()()lim()0,zfzzfzfzz函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.事实上,由f(z)在z0点可导,必有).()()()(000zfzzfzzfzr令000()()()(),fzzfzfzzzzr,)()(lim000zfzzfz所以0lim()0,zzr再由即()fz在0z处连续.反之,由知,不可导.证明()2fzxyi在复面内处处连续，但处处不可导.例2()2fzxyi但是二元实函数连续,(,),(,)2uxyxvxyy于是根据知,函数连续.定理2.5设()(,)(,),fzuxyivxy则f(x)在000zxiy处连续的充分必要条件是(,),uxy(,)vxy都在00(,)xy点连续.定理2.5()2fzxyi3、求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)()0,c其中c为复常数.(2)1(),nnznz其中n为正整数.).()()()()3(zgzfzgzf).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf2()()()()()(5),(()0).()()fzfzgzfzgzgzgzgz1(7)(),()fzw(6)[()]()(),fgzfwgz().wgz其中其中()wfz与()zw是两个互为反函数的单值函数,且()0.w二、解析函数定义2.5在区域D内有定义.()fz(1)设,若存在的一个邻域，使得0zD0z在此邻域内处处可导,则称在处解析,()fz0z()fz也称是的解析点.0z()fz(2)若在区域D内每一点都解析，则称()fz在区域D内解析,或者称是区域D内的()fz()fz解析函数.(3)设G是一个区域，若闭区域,DG且在G内解析，则称在闭区域上()fz()fzD解析.函数在处解析和在处可导意义()fz0z0z不同，前者指的是在的某一邻域内可导,0z但后者只要求在处可导.0z函数在处解析和在的某一个邻()fz0z0z域内解析意义相同.复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.反之,设函数在区域D内可导,则对()fz任意存在z的某一个邻域U,使得UD,,zD由在D内可导,可知在U内可导,即()fz()fz在z处解析.()fz若函数在处不解析，则称是()fz0z0z()fz的奇点.若是的奇点,但在的某邻域内,0z()fz0z除外,没有其他的奇点，则称是函数0z0z()fz的孤立奇点.由例1和例2知,函数是全2()fzz平面内的解析函数，但是函数()2fzxyi是处处不解析的连续函数.根据求导法则，很容易得到下面的结论.定理2.6设函数在区域D内解析,则(),()fzgz()(),()()fzgzfzgz也在D内解析.当时,是00,()0zDgz0zfzgz的解析点.特别地,多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析,分母为零的点是有理分式的孤立奇点.例3证明在处可导,2()fzzz0z但处处不解析.证明:根据导数的定义,200()(0)limlim0.zzfzfzz因此在处可导，且()fz0z(0)0.f当时,由得00z22000,zzzzzz22000()()fzfzzzzz22220000()().zzzzzzzz故2000000()()().fzfzzzzzzzzzzz虽然020000lim()22,zzzzzzzz但是当z分别从平行于x,y轴方向趋于z0时，分别00zzzz以1和-1为极限，因此不存在.又因为000limzzzzzz00,z所以不存在，即00