复变函数复习经典

-pq0p的q0称为Arg的主值,记作q0=argz.Argz=argz+2kp辐角主值：z)(Zk例1：求).1arg()1(iiArg及iz111[解])(,24)1(ZkkiArgpp.4)1arg(piqqirez由x=rcosq,y=rsinq,由欧拉公式eiq=cosq+isinq，指数表示式:xoyiyxzxyrq3）三角形式与指数形式三角表示式)|,|(Argzzrq)|,|(Argzzrq)sin(cosqqirz?,,,qryx2)3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp--因此ieizppp103103sin103cos235arctanarctan.3612qppp-----例3将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sincos.55zizipp--[解]1)||1244.rz--65sin65cos4ppizie654p-)20()2(0pqqirezz.0为半径的圆周为心，代表以rz)()1(121zztzz-)10(t.10为端点的直线段和代表以zz重要结论:qirezz-0)(zf0zz)(zf判断函数在时极限不存在的方法:1.存在一条路径,0zz)(zfz沿该路径趋于0z时极限不存在;2.存在两条路径,z沿这两条路径趋于0z时极限不等.1.乘积与商1212121212rgzzrrzzArgzzAzArgz)sin(cos),sin(cos22221111qqqqirzirz)sin)(cossin(cos22112121qqqqiirrzz)]sin()[cos(212121qqqqirr)sinsincos[(cos212121qqqq-rr)]sincoscos(sin2121qqqqi一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作zzfzzfz-)()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz-)()(lim)('00000如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(3)Δz=Δx+iΔy注：0,00,yxz(2)判断函数在不可导的方法:0z)(zf时，极限值不相等。沿它们趋于存在两条路径，时，极限不存在；沿此路径趋于存在一条路径，00zz(3)求导法则①复常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z))0)((,)()(')()()('')()(2-zgzgzgzfzgzfzgzf④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。)('1)('wzf二.解析函数的概念1.定义如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。0z思考：可导与解析有何关系？如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。定理1（四则运算法则）设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0时)均是D内的解析函数。2.解析函数的运算：.0)()()()(10点外区域内的解析函数是复平面上除分母为函数；是整个复平面上的解析重要结论：zQzPzRzazaazPnn定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程yuxvyvxu-上述条件满足时,有xvixuzf)('yuiyv-定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程yuxvyvxu-xvixuzf)('yuiyv-推论：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充分条件是u(x,y)和v(x,y)在一阶D内具有连续偏导数且满足Cauchy-Riemann方程)2()3()sin(cose(2)w;)1(2233xyxiyxwyiyzw-例4判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)u=x,v=-y则1001-yvxvyuxu析。在全平面不可导，不解故zwyvxu1.指数函数2.对数函数3.三角函数和双曲函数4.乘幂与幂函数5.反三角函数与反双曲函数§2.3初等函数一.指数函数,2,1,02)kkyeeezxzpArg()1()sin(cos)(:yiyeezfiyxzxz如下的指数函数定义复变数1.指数函数的定义0ze2.指数函数的性质0,)3(zeCz,01y）当（.)()()4(zzzeeezf且处处解析，在复平面上处处连续，xzeezf)(,0)2(xRyyiyeiy,sincos)sin(cosyiyeexz二.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew记作称为对数函数的函数把满足,)()0(qirezivuw令)()2(lnZkkirLnzwpqzizLnzArgln或1.对数函数的定义qiivuree)(2,lnZkkvrupqpqkvreu2,;1的无穷多值函数是）（zLnzwzzizlnargln)2(记作)(2lnZkkizLnzp分支zizLnzArgln.,的主值称为的一单值函数为LnzLnz2.对数函数的性质,arglnln:zizz主值.arg连续在原点与负实轴上都不z.ln:)3平面内解析在除去原点与负实轴的解析性zzz1)'(lndwdezw1)(lnzew11.,2ziez求设例)2(iLnz解：)(222lnZkkipp)()2(|2|lnZkiiArgiyiyeyiyexiyiysincossincos,0--时当三.三角函数和双曲函数的正弦与余弦函数称为zeezieeziziziziz-----2cos2sin定义Ryeeyieeyiyiyiyiy---2cos2sin1.正余弦函数的定义周期函数是及p2cossin)1Tzzzzzzsin)'(coscos)'(sin,)2-且在复平面上处处解析2.正弦与余弦函数的性质)2cos(pz证明：)'(sinz证明：zeeizizcos2-2222)2()2(iiziizzizieeeeeepppp---)'(21izizeei--zeeizizcos)(21-.cos,sin)3是偶函数是奇函数zzzizeCzizsincos)4成立公式对一切Euler三角公式仍成立)5-1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz例如)(sin)6Zkkzzp的零点为Zkkzzpp2cos的零点为02--ieeiziz证明：1,2-izizizeee)(Zkkzp12Lniz)(2Zkikp.1sin,1cos)7(不再成立在复数范围内zz四.乘幂与幂函数babz1.乘幂ab,0,,aba且为复数设定义.bLnabea定义乘幂21iLniiei),2,1,0(k)22sin()22cos(ppkik)2,1,0(k解.12的值、求ii例4ikikee22)21(ln2pp)2()2(ln22pppp-kikiiiee12LnebLnabea—一般无穷多值（1）多值性它为单值的为整数①当,b个值；有且为互质的整数②当qqqpqpb),0,,((2)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a的n次幂意义一致。(3)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的n次根意义一致。2.性质3.幂函数zb称为幂函数。得为复变数中，取在乘幂,,bLnzbbezwza定义.4.性质：一般为多值函数bzw)1(1)'(,)2(-bbbbzzzw且轴外处处解析单值分支除原点与负实解析性：内的调和函数。是，内解析在区域若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()(定理一),,(yxu部已知一个解析函数的实解析函数的构造:方法：偏积分法、不定积分法、曲线积分法、凑全微分法.),,(ivuyxvRC-从而构成解析函数方程可求得它的虚部利用偏积分法:),,()1(yxu部已知一个解析函数的实dyyvyxv),(则方程RC-dyxu)(),(xgyx)(xgxxv方程RC-yu-),,()2(yxv部已知一个解析函数的实dxxuyxu),(则方程RC-dxyv)(),(ygyx)(ygyyu方程RC-xv-例2.1)()(),(,),(22iifzfyxvyxyxyxu--使数和由它们构成的解析函共轭调和函数求其已知调和函数)(222xgyxyv)21221()()(2222cyxyxixyyxzf--解xyyuxgyxv--2)('2cxxg-2)(2cxyxyyxv-222),(22xxg-)('dyyxdyxudyyvyxv)2(),(则不定积分法),,(yxu部已知一个解析函数的实xvixuzf)(方程RC-yuixu-dzzfzf)()(0,yzx令)2()2()('yxiyxiuuivuzfyxxx---例2zizf-2)(czizf-222)(0,yzx令.1)()(),(),(22iifzfyxvyxyxyxu--使数和由它们构成的解析函共轭调和函数为调和函数，并求其证明nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分段光滑曲线.)()()()(,)5估值定理上满足在函数的长度为设--MLdszfdzzfMzfCzfLCCC积分性质--CCdzzfdzzf)()()1CCdzzfkdzzkf)()()2CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()]()([)3)()(,)()(,,)()1('1010zfzFzFdzzfBBzfzzzz则单连通内解析在若本章要点：解析函数的积分计算(P79例，P83例1，P86例，P89例1)0)(,,,)()2(cdzzfBCBzf则单连通解析若0)(:)3(dzzff则为边界的区域内解析，上及在复合闭路定理柯西积分公式：)4(高阶导数公式：)5(,...)2,1)((!2)()(0)(10-nzf