高一数学--对数函数综合练习题1(答案)

习题精选精讲对数的运算性质2．例题分析：例1．用logax，logay，logaz表示下列各式：（1）logaxyz；（2）23logaxyz．解：（1）logaxyzlog()logaaxyzlogloglogaaaxyz；例2．求下列各式的值：（1）752log42；（2）5lg100．解：（1）原式=7522log4log2=227log45log2725119；（2）原式=2122lg10lg10555例3．计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2.1lg10lg38lg27lg．解：（1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg7lg183=18)37(714lg2lg10；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2.1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg21)lg(3)lg23lg103232lg32lg212lg10．例4．已知lg20.3010，lg30.4771，求lg1.44的值。分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：22121.441.2(3210)，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。解：2212lg1.44lg1.2lg(3210)2(lg32lg21)2(0.477120.30101)0.1582．说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。（2）23logaxyz23log()logaaxyz23logloglogaaaxyz112logloglog23aaaxyz．习题精选精讲例5．已知loglogaaxcb，求x．分析：由于x是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式。解：（法一）由对数定义可知：bcaaxloglogacbbaaca．（法二）由已知移项可得bcxaaloglog，即bcxalog，由对数定义知：bacx，∴bxca．（法三）logbaba，∴logloglogbaaaxcalogbaca，∴bxca．说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。1．对数的运算性质：如果a0，a1，M0，N0，那么（1）log()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnMnR．证明：（性质1）设logaMp，logaNq，由对数的定义可得pMa，qNa，∴pqpqMNaaa，∴log()aMNpq，即证得logloglogaaaMNMN．练习：证明性质2．说明：（1）语言表达：“积的对数=对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如11025101010logloglog；（3）注意定义域：)(log)(log))((log5353222是不成立的，)(log)(log1021010210是不成立的；（4）当心记忆错误：NlogMlog)MN(logaaa，试举反例，NlogMlog)NM(logaaa，试举反例。例6．（1）已知32a，用a表示33log4log6；（2）已知3log2a，35b，用a、b表示30log3．解：（1）∵32a，∴3log2a，∴log34log36=112log32log33a．（2）∵35b，∴3log5b，（性质3）设logaMp，由对数的定义可得pMa，∴nnpMa，∴lognaMnp，即证得loglognaaMnM．习题精选精讲又∵3log2a，∴30log3=31log235233311log2log3log5(1)22ab．换底公式1．换底公式：logloglogmamNNa(a0,a1；0,1mm)证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，∴loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，∴aNNmmalogloglog．说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1）．证明：（1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam．2．例题分析：例1．计算：（1）0.21log35；（2）4492log3log2log32．解：（1）原式=0.251log3log3555151553；（2）原式=2345412log452log213log21232．例2．已知18log9a，185b，求36log45（用a,b表示）．解：∵18log9a，∴a2log1218log1818，∴18log21a，又∵185b，∴18log5b，∴aba22log15log9log36log45log45log181818181836．例3．设1643tzyx，求证：yxz2111．证明：∵1643tzyx，∴6lglg4lglg3lglgtztytx，，，∴yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11．例4．若8log3p，3log5q，求lg5．解：∵8log3p，∴)5lg1(32lg33lg33log2ppp，习题精选精讲又∵q3lg5lg5log3，∴)5lg1(33lg5lgpqq，∴pqpq35lg)31(∴pqpq3135lg．例5．计算：421938432log)2log2)(log3log3(log．解：原式23254312223(log3log3)(log2log2)log245)2log212)(log3log313log21(3322254545452log233log6532．例6．若2loglog8log4log4843m，求m．解：由题意可得：218lglg4lg8lg3lg4lgm，∴3lg21lgm，∴3m．对数函数例1．求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya．分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解：（1）由2x0得0x，∴函数2logxya的定义域是0xx；（2）由04x得4x，∴函数)4(logxya的定义域是4xx；（3）由9-02x得-33x，∴函数)9(log2xya的定义域是33xx．说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。例2．求函数251xy和函数22112xy)0(x的反函数。解：（1）125xy∴115()log(2)fxx(-2)x；（2）211-22xy∴-112()log(-2)fxx5(2)2x．例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log3.4，2log8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log5.1a，log5.9a.解：（1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log3.42log8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，习题精选精讲于是0.3log1.80.3log2.7；（3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log5.1alog5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log5.1alog5.9a．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log7，7log6；（2）3log，2log0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log3，6log3，7log3．解：（1）∵66log7log61，77log6log71，∴6log77log6；（2）∵33loglog10，22log0.8log10，∴3log2log0.8．（3）∵0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，∴0.91.10.7log0.81.1log0.9．（4）∵3330log5log6log7，∴5log36log37log3．例6．已知log4log4mn，比较m，n的大小。解：∵log4log4mn，∴4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，∴44loglognm，∴1mn．当01m，01n时，得44110loglogmn，∴44loglognm，∴01nm．当01m，1n时，得4log0m，40logn，∴01m，1n，∴01mn．综上所述，m，n的大小关系为1mn或01nm或01mn．例7．求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx；（3）2log(47)ayxx（0a且1a）．解：（1）令3tx，则2logyt，∵0t，∴yR，即函数值域为R．（2）令23tx，则03t，∴2log3y，即函数值域为2(,log3]．（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log3ay，即值域为[log3,)a，习题精选精讲当01a时，log3ay，即值域为(,log3]a．例8．判断函数22()log(1)fxxx的奇偶性。解：∵21xx恒成立，故()fx的定义域为(,)，22()log(1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1()xxfx，所以，()fx为奇函数。例9．求函数2132log(32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3[,)2上递增，在3(,]2上递减，又∵2320xx，∴2x或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又∵132logyu为减函数，所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例10．若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2()ugxxaxa，∵函数2logyu为减函数，∴2()ugxxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，∴132(13)0ag，解得2232a，所以，a的取值范围为[223,2]．对数函数1如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为()．（A