两个重要极限的证明

1两个重要的极限1．证明：0sinlim1xxx证明：如图（a）作单位圆。当0x2时，显然有ΔOAD面积扇形OAD面积ΔOAB面积。即111sin222xxtgx，sinxxtgx。除以sinx，得到11sincosxxx或sin1cosxxx。（1）由偶函数性质，上式对02x时也成立。故（1）式对一切满足不等式0||2x的x都成立。由0limxcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0limxsin1xx。函数f(x)=sinxx的图象如图（b）所示。2．证明：1lim(1)nnn存在。证明：先建立一个不等式，设ba0，于是对任一自然数n有11(1)nnnbanbba或11(1)()nnnbanbba，整理后得不等式1[(1)]nnabnanb。（1）令a=1+11n，b=1+1n，将它们代入（1）。由于11(1)(1)(1)(1)11nanbnnnn，故有111(1)(1)1nnnn，这就是说1{(1)}nn为递增数列。再令a=1，b=1+12n代入（1）。由于11(1)(1)(1)22nanbnnn，故有111(1)22nn，12(1)2nn。不等式两端平方后有214(1)2nn，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}nn是有界的。于是由单调有界定理知道极限1lim(1)nnn是存在的。3．证明：1lim(1)xxex。证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：1lim(1)xxex（1）1lim(1)xxex（2）现在先应用2中数列极限1lim(1)nnen，证明（1）式成立。设n≤xn+1，则有1111111nxn及1111(1)(1)(1)1nxnnxn，（3）作定义在[1，+)上的阶梯函数。1()(1)1nfxn，n≤xn+1，11()(1)ngxn，n≤xn+1。由（3）有f(x)1(1)()xgxx，x∈[1，)。由于11(1)11lim()lim(1)lim1111nnxnnnfxennOxCABD图（a）Oxy图（b）21111lim()lim(1)lim(1)(1)nnxnngxennn，根据迫敛性定理便得（1）式。现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则111111(1)(1)(1)(1)(1)111xyyyxyyyy因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得1lim(1)xxex。以后还常常用到e的另一种极限形式10lim(1)aaae（4）因为，令1ax，则x→∞和a→0是等价的，所以，101lim(1)lim(1)xaxaax。